Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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On résout le problème couplé suivant analytiquement:

:math:`\lbrace \begin{array}{}m\ddot{y}+ky=F\\ \frac{{\partial}^{2}p}{\partial {y}^{2}}=0\\ (\frac{\partial p}{\partial y})={\rho}_{f}\ddot{y}\end{array}`

avec

.. csv-table::

    ":math:`F` force de pression hydrodynamique sur le piston"
    ":math:`P` pression hydrodynamique dans le fluide"
    ":math:`m,k` : masse et raideur du piston par radian"


Le champ de pression hydrodynamique dans le fluide s'écrit :

:math:`p=-{\rho}_{f}\ddot{y}(y-l)`

d'où la force de pression s'exerçant sur le piston :

:math:`F={\int}_{0}^{e}pnr\mathit{dr}=-{\rho}_{f}\ddot{y}l\frac{{e}^{2}}{2}`

la masse ajoutée par radian vaut : :math:`{m}_{a}={\rho}_{f}l\frac{{e}^{2}}{2}`

le mode propre du système couplé vaut : :math:`f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m+{m}_{a}}}=27,25\mathrm{Hz}`


Résultats de référence
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Analytique.


Références bibliographique
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1.  GIBERT R.J.: Vibrations des structures, Eyrolles (1988).