Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Calcul modal direct (sans sous-structuration dynamique)

**Calcul des modes propres en air:**

On calcule avec l'option 'BANDE' de l'opérateur CALC_MODES les 4 premières fréquences propres du système en air (système masse-ressort):


.. csv-table::

    "mode 1:", "vibration des deux cylindres en phase selon :math:`\mathrm{Ox}`"
    "mode 2:", "vibration du cylindre n°2 selon :math:`\mathrm{Oy}` (à droite)"
    "mode 3:", "vibration des deux cylindres en opposition de phase selon :math:`\mathrm{Ox}`"
    "mode 4 :", "vibration du cylindre n°1 selon :math:`\mathrm{Oy}` (à gauche)"


Ces modes peuvent être déterminés analytiquement [:ref:`bib1 <bib1>`].

Le calcul Code_Aster fournit pour les fréquences propres en air:


.. csv-table::

    "mode 1:", ":math:`{f}_{1}=17.3555\mathrm{Hz}`", "mode 2:", ":math:`{f}_{2}=18.2034\mathrm{Hz}`"
    "mode 3:", ":math:`{f}_{3}=42.6760\mathrm{Hz}`", "mode 4 :", ":math:`{f}_{4}=57.5418\mathrm{Hz}`"


**Calcul de la matrice de masse ajoutée sur base modale:**

Sur cette base modale, on calcule la matrice de masse ajoutée d'ordre 4 avec l'opérateur CALC_MATR_AJOU [:external:ref:`U4.55.10 <U4.55.10>`] option 'MASS_AJOU' mot-clé MODE_MECA (termes de la triangulaire inférieurs):


.. csv-table::

    ":math:`\mathrm{m11}=300.67\mathrm{kg}/m`", ":math:`\mathrm{m12}=0.001\mathrm{kg}/m`"
    ":math:`\mathrm{m13}=269.98\mathrm{kg}/m`", ":math:`\mathrm{m14}=0.009\mathrm{kg}/m`"
    ":math:`\mathrm{m22}=269.98\mathrm{kg}/m`", ":math:`\mathrm{m23}=0.009\mathrm{kg}/m`"
    ":math:`\mathrm{m24}=31.05\mathrm{kg}/m`", ":math:`\mathrm{m33}=301.71\mathrm{kg}/m`"
    ":math:`\mathrm{m34}=–0.011\mathrm{kg}/m`", ":math:`\mathrm{m44}=269.86\mathrm{kg}/m`"


**Ajout de cette matrice à la matrice de masse généralisée:**

On ajoute la matrice ainsi déterminée à la matrice de masse généralisée (opérateur COMB_MATR_ASSE [:ref:`U4.53.01 <U4.53.01>`]) puis on calcule les fréquences propres de la structure immergée avec l'opérateur CALC_MODES option 'PLUS_PETITE' [:ref:`U4.52.02 <U4.52.02>`].

Le calcul trouve les fréquences propres suivantes :


.. csv-table::

    "mode 1:", ":math:`f{'}_{1}=15.8782\mathrm{Hz}`", "mode 2:", ":math:`f{'}_{2}=16.7811\mathrm{Hz}`"
    "mode 3:", ":math:`f{'}_{3}=39.0389\mathrm{Hz}`", "mode 4 :", ":math:`f{'}_{4}=53.0488\mathrm{Hz}`"



Résultats de référence
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Fréquences propres déterminées par Code_Aster dans un calcul direct.


Références bibliographiques
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1.  R. J GIBERT - Vibrations des Structures . Interactions avec des fluides. Eyrolles (1988).