Solution de référence ===================== Méthode de calcul ----------------- Il s'agit d'une solution analytique. La contrainte cohésive normale :math:`{t}_{c,n}` sen fonction du saut de déplacement normal :math:`[{u}_{n}]` pour la loi 'CZM_LIN_MIX' est représentée sur la Figure . Pour chacun des 8 instants de calcul, on représente sur cette même Figure la position dans laquelle on se trouve.Le saut de déplacement critique qui correspond à la disparition des efforts de cohésion est :math:`{\delta}_{c}=\frac{2{G}_{c}}{{\sigma}_{c}}=0,0016363636m` .. image:: images/10000000000002A400000221AC5EA93FF3A5C1C7.jpg :width: 4.6583in :height: 3.6437in .. _RefImage_10000000000002A400000221AC5EA93FF3A5C1C7.jpg: Figure 2.1-a: Contrainte cohésive normale en fonction du saut de déplacement normal pour la loi 'CZM_LIN_MIX' En négligeant la pesanteur, l'équation d'équilibre globale s'écrit (en contraintes totales): :math:`\text{Div}(\sigma )=0` Dans le cas d'une modélisation couplée, le tenseur des contraintes totales s'écrit: :math:`\sigma =\sigma '-{p}_{1}1` :math:`\sigma '` est le tenseur des contraintes dans le squelette et :math:`{p}_{1}` et la pression de pore dans le massif. Le module de Poisson :math:`\nu` étant nul , et étant dans le cas élastique, on a :math:`\sigma '=Eϵ` . Or :math:`\forall x,{p}_{1}(x)=0` donc finalement :math:`\text{Div}(ϵ)=0` Étant donné les déplacements imposés et la nullité du coefficient de Poisson :math:`\nu ` , le problème est unidirectionnel dans la direction :math:`z` . Dans la matrice solide, le champs des déplacements suivant :math:`z` vérifie: :math:`\frac{d\mathrm{²}{u}_{z}}{\mathit{dz}\mathrm{²}}=0` *Instant 1* La colonne est en compression, les lèvres de l'interface cohésive sont en contact. Le saut de déplacement :math:`[{u}_{z}]` est donc nul. Par conséquent :math:`{{\varepsilon}}_{zz}=g(1)/\mathit{LZ}` et :math:`{\sigma}_{zz}=E{{\varepsilon}}_{zz}=E\ast g(1)/\mathit{LZ}` . La contrainte cohésive normale :math:`{t}_{c,n}` est égale à la contrainte :math:`{\sigma}_{zz}` . Instant 2 La colonne est en traction. On fait l'hypothèse que l'interface cohésive est en situation d'adhérence. Cette hypothèse est vérifiée si :math:`{t}_{c,n}\le {\sigma}_{c}` . SI l'interface cohésive est adhérent, alors les lèvres de l'interface cohésive sont en contact. Le saut de déplacement :math:`[{u}_{z}]` est donc nul. Par conséquent :math:`{{\varepsilon}}_{zz}=g(2)/\mathit{LZ}` et :math:`{\sigma}_{zz}=E{{\varepsilon}}_{zz}=E\ast g(2)/\mathit{LZ}` . La contrainte cohésive normale :math:`{t}_{c,n}` est alors égale à la contrainte :math:`{\sigma}_{zz}=0,116\mathit{MPa}\le {\sigma}_{c}` . L'hypothèse effectuée initialement est donc validée. Instant 3 La colonne est en traction. On fait l'hypothèse que l'interface cohésive est en situation d'adhérence. Cette hypothèse est vérifiée si :math:`{t}_{c,n}\le {\sigma}_{c}` . SI l'interface cohésive est adhérente, alors les lèvres de l'interface cohésive sont en contact. Le saut de déplacement :math:`[{u}_{z}]` est donc nul. Par conséquent :math:`{{\varepsilon}}_{zz}=g(3)/\mathit{LZ}` et :math:`{\sigma}_{zz}=E{{\varepsilon}}_{zz}=E\ast g(3)/\mathit{LZ}` . La contrainte cohésive normale :math:`{t}_{c,n}` est alors égale à la contrainte :math:`{\sigma}_{zz}=1,16\mathit{MPa}>{\sigma}_{c}` . L'hypothèse effectuée initialement est donc fausse. On fait donc l'hypothèse que l'interface cohésive est en régime d'endommagement. Cette hypothèse est vérifiée si :math:`0<[{u}_{n}]\le {\delta}_{c}` . La contrainte cohésive :math:`{t}_{c,n}` est alors reliée au saut de déplacement normal :math:`[{u}_{z}]` par la relation :math:`{t}_{c,n}={\sigma}_{c}\ast (1-\frac{[{u}_{z}]}{{\delta}_{c}})` . Par ailleurs, l'élongation totale de la colonne est :math:`g(3)=[{u}_{z}]+\mathit{LZ}\ast {{\varepsilon}}_{zz}` . Enfin, la contrainte cohésive normale est égale à la contrainte verticale :math:`{t}_{c,n}=E\ast {{\varepsilon}}_{zz}` . Finalement: :math:`{t}_{c,n}=\frac{E\ast {\sigma}_{c}\ast (1-\frac{g(3)}{{\delta}_{c}})}{E-\frac{\mathit{LZ}\ast {\sigma}_{c}}{{\delta}_{c}}}` :math:`[{u}_{z}]=\frac{-\mathit{LZ}\ast {\sigma}_{c}+E\ast g(3)}{E-\frac{\mathit{LZ}\ast {\sigma}_{c}}{{\delta}_{c}}}` Numériquement, on trouve, :math:`[{u}_{z}]=0,0001230068m<{\delta}_{c}` . L'hypothèse effectuée initialement est validée. Instant 4 La colonne est toujours en traction, mais une traction moins importante qu'à l'instant précédent. On est donc en situation de retour élastique dans la zone cohésive (décharge au cours du processus d'endommagement). La traction cohésive normale est alors donnée par :math:`{t}_{c,n}=\frac{{t}_{c,n}(3)\ast [{u}_{z}]}{[{u}_{z}(3)]}` et l'élongation totale de la colonne est :math:`g(4)=[{u}_{z}]+\mathit{LZ}\ast {{\varepsilon}}_{zz}` . Enfin, la contrainte cohésive normale est égale à la contrainte verticale :math:`{t}_{c,n}=E\ast {{\varepsilon}}_{zz}` . Finalement: :math:`[{u}_{z}]=\frac{E\ast g(4)\ast [:ref:`{u}_{z}(3) <{u}_{z}(3)>`]}{\mathit{LZ}\ast {t}_{c,n}(3)+E\ast [:ref:`{u}_{z}(3) <{u}_{z}(3)>`]}` :math:`{t}_{c,n}=\frac{{t}_{c,n}(3)\ast E\ast g(4)}{\mathit{LZ}\ast {t}_{c,n}(3)+E\ast [:ref:`{u}_{z}(3) <{u}_{z}(3)>`]}` Instant 5 La colonne est de nouveau en traction, à un niveau non encore atteint. On fait donc l'hypothèse que l'interface cohésive est en régime d'endommagement. Cette hypothèse est vérifiée si :math:`0<[{u}_{n}]\le {\delta}_{c}` . La contrainte cohésive :math:`{t}_{c,n}` est alors reliée au saut de déplacement normal :math:`[{u}_{z}]` par la relation :math:`{t}_{c,n}={\sigma}_{c}\ast (1-\frac{[{u}_{z}]}{{\delta}_{c}})` . Par ailleurs, l'élongation totale de la colonne est :math:`g(5)=[{u}_{z}]+\mathit{LZ}\ast {{\varepsilon}}_{zz}` . Enfin, la contrainte cohésive normale est égale à la contrainte verticale :math:`{t}_{c,n}=E\ast {{\varepsilon}}_{zz}` . Finalement: :math:`{t}_{c,n}=\frac{E\ast {\sigma}_{c}\ast (1-\frac{g(5)}{{\delta}_{c}})}{E-\frac{\mathit{LZ}{\sigma}_{c}}{{\delta}_{c}}}` :math:`[{u}_{z}]=\frac{-\mathit{LZ}{\sigma}_{c}+E\ast g(5)}{E-\frac{\mathit{LZ}{\sigma}_{c}}{{\delta}_{c}}}` Numériquement, on trouve, :math:`[{u}_{z}]=0,000059863325m<{\delta}_{c}` . L'hypothèse effectuée initialement est validée. Instant 6 La colonne est toujoursen traction, à un niveau non encore atteint. On fait donc l'hypothèse que l'interface cohésive est en régime d'endommagement. Cette hypothèse est vérifiée si :math:`0<[{u}_{n}]\le {\delta}_{c}` . La contrainte cohésive :math:`{t}_{c,n}` est alors reliée au saut de déplacement normal :math:`[{u}_{z}]` par la relation :math:`{t}_{c,n}={\sigma}_{c}\ast (1-\frac{[{u}_{z}]}{{\delta}_{c}})` . Par ailleurs, l'élongation totale de la colonne est :math:`g(6)=[{u}_{z}]+\mathit{LZ}\ast {{\varepsilon}}_{zz}` . Enfin, la contrainte cohésive normale est égale à la contrainte verticale :math:`{t}_{c,n}=E\ast {{\varepsilon}}_{zz}` . Finalement: :math:`{t}_{c,n}=\frac{E\ast {\sigma}_{c}\ast (1-\frac{g(6)}{{\delta}_{c}})}{E-\frac{\mathit{LZ}{\sigma}_{c}}{{\delta}_{c}}}` :math:`[{u}_{z}]=\frac{-\mathit{LZ}{\sigma}_{c}+E\ast g(6)}{E-\frac{\mathit{LZ}{\sigma}_{c}}{{\delta}_{c}}}` Numériquement, on trouve, :math:`[{u}_{z}]=0,001787699m>{\delta}_{c}` . L'hypothèse effectuée initialement est erronée. L'interface cohésive n'est plus dans le régime d'endommagement, elle est rompue. Les forces cohésives sont donc nulles :math:`{t}_{c,n}=0` et le saut de déplacement est :math:`[{u}_{z}]=g(6)` . Instant 7 Au cours de ce pas de temps, l'élongation verticale de la colonne reste fixe. En revanche, on applique un déplacement latéral sur la face supérieure de la colonne afin de vérifier que les efforts cohésifs restent nuls en cas de cisaillement dans l'interface cohésive rompue. On a ainsi: :math:`[{u}_{z}]=g(7)` :math:`[{u}_{x}]=f(7)` :math:`{t}_{c,n}=0` :math:`{t}_{c,s}=0` Instant 8 Enfin, on comprime la colonne pour vérifier que le contact sur les lèvres de l'interface cohésive s'applique bien même lorsque la zone cohésive a été rompue. Le chargement est le même qu'à l'instant 1. On a :math:`{{\varepsilon}}_{zz}=g(8)/\mathit{LZ}` et :math:`{\sigma}_{zz}=E{{\varepsilon}}_{zz}=E\ast g(8)/\mathit{LZ}` . La contrainte cohésive normale :math:`{t}_{c,n}` est égale à la contrainte :math:`{\sigma}_{zz}` . Grandeurs et résultats de référence ----------------------------------- On teste la valeur de la traction cohésive normale au niveau de l'interface cohésive et de la traction cohésive tangentielle (suivant :math:`x` ) à chaque instant. Pour tester tous les nœuds de l'interface cohésive en même temps on teste le MIN et le MAX. .. csv-table:: "", "Traction cohésive normale (MPa)", "Traction cohésive tangentielle (MPa)" "Instant 1", "-0.116", "0" "Instant 2", "0.116", "0" "Instant 3", "1.0173120729", "0" "Instant 4", "0.50865603645", "0" "Instant 5", "0.69758542141", "0" "Instant 6", "0", "0" "Instant 7", "0", "0" "Instant 8", "-0.116", "0" Incertitudes sur la solution ---------------------------- Aucune la solution est analytique. Références bibliographiques --------------------------- 1. Documentation de référence R7.02.18 (Éléments hydromécaniques couplés avec la méthode des éléments finis étendue).