Solution de référence ===================== Méthode de calcul ----------------- La solution de référence est unidimensionnelle car elle ne dépend que de la coordonnée verticale. On raisonnera donc sur un axe linéaire selon z. Si on néglige la gravité et qu'on considère qu'il n'y a pas de source de chaleur externe, l'équation de la thermique est donnée par l'expression suivante : .. math:: :label: eq-None {h}_{l}^{m}\frac{d{m}_{l}}{\mathrm{dt}}+\frac{\delta Q'}{\mathrm{dt}}D{M}_{l}+\mathrm{divq}=0 Où :math:`{h}_{l}^{m}` est l'enthalpie massique de l'eau, :math:`{m}_{l}` sa masse, :math:`{M}_{l}` son flux, q le flux de chaleur et :math:`Q'` la chaleur non convectée. L'équation de conservation de la masse est la suivante : .. math:: :label: eq-None \frac{d{m}_{l}}{\mathrm{dt}}+D{M}_{l}=0 En l'absence de flux hydrique, l'équation (1) se simplifie pour devenir : .. math:: :label: eq-None \frac{\delta Q'}{\mathrm{dt}}+\mathrm{divq}=0 Dans cette équation, la quantité :math:`Q'` représente la chaleur reçue par le système dans une transformation pour laquelle il n'y a pas d'apports de chaleur par entrée de fluide. On choisit une variation de pression faible et des paramètres de manière à ce que la température varie peu et donc que : :math:`\frac{dQ'}{T}=\frac{dQ'}{{T}_{0}}` :math:`\mathrm{dQ}'` a par conséquent cette expression : :math:`\mathrm{dQ}'=3{\alpha}_{0}{K}_{0}{T}_{0}d{\varepsilon}_{v}+{C}_{0}^{\varepsilon}\mathrm{dT}-3{\alpha}_{l}^{m}{T}_{0}{\mathrm{dp}}_{l}` avec : * :math:`{\alpha}_{0}` le coefficient de dilatation thermique homogénéisée équivalent à celui du solide :math:`{\alpha}_{s}` . * :math:`{K}_{0}` le coefficient drainé d'élasticité. * :math:`{C}_{0}^{\varepsilon}` la chaleur a déformation constante qui a pour expression :math:`{C}_{0}^{\varepsilon}={C}_{0}^{\sigma}-9{T}_{0}{K}_{0}{\alpha}_{0}^{2}` et :math:`{C}_{0}^{\sigma}` la chaleur à contrainte constante. * :math:`{\alpha}_{l}^{m}` Le coefficient de dilatation thermique relative du liquide par rapport au squelette, il a pour expression : :math:`{\alpha}_{l}^{m}=(b-\phi ){\alpha}_{s}+\phi {\alpha}_{l}` avec b le coefficient de Biot, :math:`\phi` la porosité et :math:`{\alpha}_{l}` le coefficient de dilatation du liquide. * :math:`d{\varepsilon}_{v}` La variation de déformation volumique. * :math:`{\mathrm{dp}}_{l}` La variation de pression de liquide. Par ailleurs, le flux de chaleur a l'expression suivante : :math:`q=-{\lambda}_{T}\partial \frac{T}{\partial z}` où :math:`{\lambda}_{T}` est le coefficient de conductivité thermique. En remplaçant :math:`\mathrm{dQ}'` et q par leur valeur dans l'équation (3) et se limitant à seul pas de temps :math:`\Delta t` , on obtient : :math:`3{\alpha}_{0}{K}_{0}{T}_{0}\Delta {\varepsilon}_{v}-3{\alpha}_{l}^{m}{T}_{0}\Delta {p}_{l}+{C}_{0}^{\varepsilon}\Delta T=-\Delta tdq={\lambda}_{l}\Delta t\frac{{\partial}^{2}T}{\partial {z}^{2}}` En considérant des températures et les déplacements initialement nuls, on peut écrire : :math:`\Delta T=T(t)-T(0)=T` et :math:`\Delta \varepsilon =\varepsilon (t)-\varepsilon (0)=\varepsilon` et :math:`\Delta {p}_{l}={p}_{l}(t)-{p}_{l}(0)={p}_{l}` Donc au premier pas de temps, on aura : :math:`T-a\frac{{\partial}^{2}T}{\partial {z}^{2}}=b` avec :math:`a=\frac{{\lambda}_{l}\Delta T}{{C}_{0}^{\varepsilon}}` et :math:`b=-\frac{3{\alpha}_{0}{K}_{0}{T}_{0}\varepsilon -3{\alpha}_{l}^{m}{T}_{0}{p}_{l}}{{C}_{0}^{\varepsilon}}` La formulation variationnelle de cette expression (dans le cas unidimensionnel) est alors la suivante : .. math:: :label: eq-None {\int}_{\Omega}T.\stackrel{ˆ}{T}\mathrm{dz}+a{\int}_{\Omega}\frac{\partial T}{\partial z}\frac{\partial \stackrel{ˆ}{T}}{\partial z}\mathrm{dz}-a{\int}_{\partial \Omega }\frac{\partial T}{\partial z}\stackrel{ˆ}{T}\mathrm{dz}={\int}_{\Omega}b.\stackrel{ˆ}{T}\mathrm{dz} Pour établir la solution analytique on considère un unique élément de degré 1 puisque en modélisation THM la partie thermo-hydraulique est traitée par des éléments linéaires. Soit un élément linéaire : .. image:: images/Object_23.svg :width: 489 :height: 206 .. _RefImage_Object_23.svg: On rappelle les conditions aux limites : :math:`\frac{\partial T}{\partial z}=0` aux 2 extrémités (z=0,5 et z = -0,5) La température sur la base des fonctions de formes s'écrit de la manière suivante : :math:`T(z,t)=\sum_{i=1}^{i=2}{T}^{i}(t){\lambda}_{i}(z)` avec :math:`{\lambda}_{1}(z)=0,5(1+\mathrm{2z})` et :math:`{\lambda}_{2}(z)=0,5(1-\mathrm{2z})` On introduit alors les matrices suivantes : :math:`\left[A\right]=\left[{A}_{ij}\right];{A}_{ij}={\int}_{-0,5}^{0,5}{\lambda}_{i}{\lambda}_{j}\mathrm{dz}` :math:`\left[B\right]=\left[{B}_{ij}\right];{B}_{ij}={\int}_{-0,5}^{0,5}\frac{\partial {\lambda}_{i}}{\partial z}\frac{\partial {\lambda}_{j}}{\partial z}\mathrm{dz}` ce qui conduit à : :math:`\left[A\right]=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]` et :math:`\left[B\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]` On note ensuite classiquement : :math:`\lbrace T\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}{T}^{1}\\ {T}^{2}\end{array}\right\rbrace` et :math:`\lbrace \frac{\partial T}{\partial t}\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}\frac{\partial {T}^{1}}{\partial t}\\ \frac{\partial {T}^{2}}{\partial t}\end{array}\right\rbrace` L'équation (4) devient alors :math:`[A]\lbrace T\rbrace +a[B]\lbrace T\rbrace -a[A]\lbrace \frac{\partial T}{\partial t}\rbrace =[A]\lbrace b\rbrace` avec les conditions aux limites imposées (déplacement nul en bas et flux de températures nuls aux deux extrémités), on a : :math:`\lbrace b\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}0\\ b\end{array}\right\rbrace \mathrm{et}\lbrace \frac{\partial T}{\partial t}\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right\rbrace` Ce qui au final nous donne :math:`\left\lbrace \begin{array}{c}{T}^{1}\\ {T}^{2}\end{array}\right\rbrace +a{[A]}^{-1}[B]\left\lbrace \begin{array}{c}{T}^{1}\\ {T}^{2}\end{array}\right\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}0\\ b\end{array}\right\rbrace` Finalement on obtient : :math:`\left[\begin{array}{cc}1+\mathrm{6a}& -\mathrm{6a}\\ -\mathrm{6a}& 1+\mathrm{6a}\end{array}\right]\lbrace T\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}{T}^{1}\\ {T}^{2}\end{array}\right\rbrace` Grandeurs et résultats de référence ----------------------------------- Pour un temps court de 100s, on aura :math:`\left\lbrace \begin{array}{c}{T}^{1}\\ {T}^{2}\end{array}\right\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}{2.10}^{-14}\\ 1,045{.10}^{-7}\end{array}\right\rbrace` On considérera :math:`{T}^{1}` nul. Incertitude sur la solution --------------------------- Aucune