Solution de référence
=====================


Solution de référence pour la pression d’eau en linéaire
--------------------------------------------------------


.. image:: images/Object_23.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_23.svg:

,

.. image:: images/Object_24.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_24.svg:


.. image:: images/Object_25.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_25.svg:

désignant les contraintes ,déformations et pressions d’eau obtenues dans la phase on a:


.. image:: images/Object_26.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_26.svg:

Dans cette écriture,

.. image:: images/Object_27.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_27.svg:

désigne le module de biot et

.. image:: images/Object_28.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_28.svg:

.

Les conditions aux limites de flux nul et la conservation de la masse d’eau donnent

.. image:: images/Object_29.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_29.svg:

Les conditions aux limites sur les parois latérales et le fait que l’état de contrainte est homogène donnent:


.. image:: images/Object_30.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_30.svg:

On a donc finalement à résoudre les deux équations:


.. image:: images/Object_31.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_31.svg:

Et on obtient:


.. image:: images/Object_32.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_32.svg:

Dans notre cas,


.. image:: images/Object_33.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_33.svg:


Développement de la solution analytique CJS
-------------------------------------------

On a en permanence:

pour les déformations:

.. image:: images/Object_34.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_34.svg:

pour les contraintes:

.. image:: images/Object_35.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_35.svg:

**Phase élastique:**

En écrivant simplement la loi élastique, il vient:


.. image:: images/Object_36.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_36.svg:


.. image:: images/Object_37.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_37.svg:

Par ailleurs, on sait aussi que pendant cette phase

.. image:: images/Object_38.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_38.svg:

(:math:`=\mathit{trace}(\sigma )` ) reste constant car

.. image:: images/Object_39.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_39.svg:

. On en déduit pour les composantes du déviateur:


.. image:: images/Object_40.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_40.svg:

et

.. image:: images/Object_41.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_41.svg:

soit:

.. image:: images/Object_42.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_42.svg:

et

.. image:: images/Object_43.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_43.svg:

Par conséquent:

.. image:: images/Object_44.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_44.svg:

Ainsi lorsqu’on atteint le critère

.. image:: images/Object_45.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_45.svg:

, on a:


.. image:: images/Object_46.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_46.svg:

C’est-à-dire que la transition entre les états élastique et parfaitement plastique se fait pour une déformation axiale égale à:


.. image:: images/Object_47.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_47.svg:

L’état de contraintes correspondant est noté:


.. image:: images/Object_48.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_48.svg:

et

.. image:: images/Object_49.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_49.svg:

**Phase plastique:**

On note

.. image:: images/Object_50.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_50.svg:

le déviateur de l’inverse du tenseur s

D’une façon générale, on a les grandeurs suivantes:


.. image:: images/Object_51.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_51.svg:


.. image:: images/Object_52.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_52.svg:


.. image:: images/Object_53.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_53.svg:


.. image:: images/Object_54.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_54.svg:


.. image:: images/Object_55.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_55.svg:


.. image:: images/Object_56.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_56.svg:

soit:

.. image:: images/Object_57.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_57.svg:

et

.. image:: images/Object_58.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_58.svg:

Par conséquent:

.. image:: images/Object_59.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_59.svg:

On en déduit:


.. image:: images/Object_60.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_60.svg:

et

.. image:: images/Object_61.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_61.svg:

en outre:

.. image:: images/Object_62.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_62.svg:

et

.. image:: images/Object_63.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_63.svg:

Comme on a:

.. image:: images/Object_64.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_64.svg:

alors le tenseur

.. image:: images/Object_65.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_65.svg:

s’écrit:


.. image:: images/Object_66.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_66.svg:

et

.. image:: images/Object_67.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_67.svg:

Il vient alors pour

.. image:: images/Object_68.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_68.svg:

:


.. image:: images/Object_69.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_69.svg:


.. image:: images/Object_70.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_70.svg:

On a également d’après la loi élastique:


.. image:: images/Object_71.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_71.svg:

et

.. image:: images/Object_72.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_72.svg:

où:


.. image:: images/Object_73.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_73.svg:


.. image:: images/Object_74.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_74.svg:

et avec:

.. image:: images/Object_75.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_75.svg:

et

.. image:: images/Object_76.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_76.svg:

soit, d’après ce qui précède, on a pour

.. image:: images/Object_77.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_77.svg:

:


.. image:: images/Object_78.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_78.svg:

et pour

.. image:: images/Object_79.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_79.svg:

:


.. image:: images/Object_80.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_80.svg:

On en déduit que la fonction de charge déviatoire s’écrit:


.. image:: images/Object_81.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_81.svg:

En tenant compte du fait que

.. image:: images/Object_82.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_82.svg:

, on trouve alors pour le multiplicateur plastique:


.. image:: images/Object_83.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_83.svg:

ce qui donne avec les formules de

.. image:: images/Object_84.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_84.svg:

et

.. image:: images/Object_85.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_85.svg:

précédentes:


.. image:: images/Object_86.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_86.svg:

On en conclut finalement l’expression analytique des contraintes:

En posant:


.. image:: images/Object_87.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_87.svg:

On a:


.. image:: images/Object_88.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_88.svg:


.. image:: images/Object_89.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_89.svg:


Résultats de référence
----------------------

Contraintes

.. image:: images/Object_90.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_90.svg:

,

.. image:: images/Object_91.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_91.svg:

et

.. image:: images/Object_92.svg
    :width: 19
    :height: 21


.. _RefImage_Object_92.svg:

aux points :math:`A` , :math:`B` et :math:`C` .


Incertitude sur la solution
---------------------------

Solution analytique exacte pour CJS1.