Solution de référence ===================== Les contraintes totales poro-élastiques sont : :math:`\sigma ={E}_{0}\varepsilon (u)-{\mathrm{bP}}_{\mathrm{lq}}` . Seule la composante verticale est présente : :math:`{\sigma}_{yy}(y,t)={E}_{0}{u}_{y,y}(y,t)-{\mathrm{bP}}_{\mathrm{lq}}(y,t)` . L’équilibre hydro-mécanique poro-élastique :math:`\mathrm{1D}` s’écrit donc, en l’absence de force de pesanteur, pour :math:`t\ge 0` : :math:`\lbrace \begin{array}{c}{E}_{0}{u}_{y,yy}(y,t)-{\mathrm{bP}}_{\mathrm{lq},y}(y,t)=0,\mathrm{équilibre}\mathrm{mécanique}\\ {\lambda}_{\mathrm{lq}}^{H}{P}_{\mathrm{lq},yy}(y,t)-b{\dot{u}}_{y,y}(y,t)=0,\mathrm{équilibre}\mathrm{hydraulique}\end{array}` avec les conditions initiales: :math:`{u}_{y}(y,0)=0` , :math:`{P}_{\mathrm{lq}}(y,0)=0` et les conditions aux limites pour :math:`t>0` : :math:`{u}_{y}(0,t)=0` , :math:`{P}_{\mathrm{lq}}(0,t)=0` , :math:`{\sigma}_{yy}(H,t)={F}_{0}\eta (t)={E}_{0}{u}_{y,y}(H,t)-{\mathrm{bP}}_{\mathrm{lq}}(H,t)` où :math:`\eta (t)` est la fonction échelon en :math:`t=0` (Heaviside). L’équilibre mécanique donne directement l’uniformité des contraintes totales pour :math:`t>0` sur :math:`∣0,H∣` , d’où: :math:`{\sigma}_{yy}(y,t)={F}_{0}={E}_{0}{u}_{y,y}(y,t)-{\mathrm{bP}}_{\mathrm{lq}}(y,t)` , soit :math:`{u}_{y,y}(y,t)=\frac{1}{{E}_{0}}({F}_{0}+{\mathrm{bP}}_{\mathrm{lq}}(y,t))` , pour :math:`t>0` sur :math:`∣0,H∣` . L’équilibre hydraulique conduit alors à: :math:`\frac{{b}^{2}}{{E}_{0}}{\dot{P}}_{\mathrm{lq}}(y,t)-{\lambda}_{\mathrm{lq}}^{H}{P}_{\mathrm{lq},yy}(y,t)=0` , pour :math:`t>0` sur :math:`∣0,H∣` avec comme conditions initiales :math:`{P}_{\mathrm{lq}}(y,0)=-\frac{{F}_{0}}{b}` sur :math:`∣0,H∣` , et deux conditions aux limites :math:`{P}_{\mathrm{lq}}(H,t)=0` et :math:`{P}_{\mathrm{lq},y}(0,t)=0` pour :math:`t>0` , c’est-à-dire un problème du type choc thermique sur :math:`∣0,H∣` . Le coefficient de consolidation :math:`{c}_{\nu}={\lambda}_{\mathrm{lq}}^{H}{E}_{0}/{b}^{2}` vaut ici : :math:`{c}_{\nu}=0,1{m}^{2}/s` . Il pilote la durée du processus de consolidation. Il en découle ainsi un temps caractéristique :math:`{\tau}_{c}={H}^{2}/{c}_{\nu}` (:math:`=\mathrm{1000s}` ici) servant à identifier le pas de la discrétisation temporelle pour la méthode numérique d’intégration. A cette valeur :math:`{\tau}_{c}` , il a été atteint un peu plus de 90% de la consolidation. La solution est, cf. [:ref:`2 <2>`]: :math:`{P}_{\mathrm{lq}}(y,t)=\frac{-4{F}_{0}}{\pi b}\sum_{m=1,2,3\mathrm{..}}^{+\infty }\frac{{(-1)}^{m-1}}{\mathrm{2m}-1}{e}^{-{\lambda}_{\mathrm{lq}}^{H}{E}_{0}{\pi}^{2}{(\mathrm{2m}-1)}^{2}\frac{t}{({\mathrm{4b}}^{2}{H}^{2})}}.\cos(\frac{\pi y(\mathrm{2m}-1)}{\mathrm{2H}})` et : :math:`{u}_{y}(y,t)=\frac{{F}_{0}y}{{E}_{0}}+\frac{b}{{E}_{0}}\underset{0}{\overset{y}{\int}}{P}_{\mathrm{lq}}(\xi ,t)d\xi` soit: :math:`{u}_{y}(y,t)=\frac{{F}_{0}y}{{E}_{0}}-\frac{8H{F}_{0}}{{\pi}^{2}{E}_{0}}\sum_{m=1,2,3\mathrm{..}}^{+\infty }\frac{{(-1)}^{m-1}}{{(\mathrm{2m}-1)}^{2}}{e}^{-{\lambda}_{\mathrm{lq}}^{H}{E}_{0}{\pi}^{2}{(\mathrm{2m}-1)}^{2}\frac{t}{({\mathrm{4b}}^{2}{H}^{2})}}.\sin(\frac{\pi y(\mathrm{2m}-1)}{\mathrm{2H}})` Les contraintes effectives (agissant sur le squelette) sont: :math:`{\sigma}_{yy}^{\mathrm{eff}}(y,t)={E}_{0}{u}_{y,y}(y,t)` .Pour des instants :math:`t\to \infty` , nous obtenons: :math:`{P}_{\mathrm{lq}}(0,\infty )=0` et :math:`{u}_{y}(H,\infty )=\frac{{F}_{0}H}{{{\rm E}}_{0}}` (soit ici :math:`-{10}^{-6}m` ). Incertitudes sur la solution ---------------------------- La solution de référence est analytique. Influence du choix de la modélisation ------------------------------------- Dans ce paragraphe, on souhaite attirer l'attention sur une difficulté de modélisation numérique liée à ce type de test (colonne de Terzaghi). Dans ce qui suit on discute donc de l'influence de la modélisation retenue et on s'appuie notamment sur des calculs réalisés avec le code Lagamine (Université de Liège) qui dispose d'éléments différents de ceux de Code_Aster. Pour cette raison, le test présenté dans ce paragraphe provient d'une étude externe et n'est pas quantitativement exactement le même que celui étudié dans le reste du document. Il ne donne donc pas les mêmes solutions de références. Ce paragraphe constitue donc un complément donné à titre informatif. A l'instant :math:`t=0` , la *solution est discontinue* à la surface libre :math:`y=H` : :math:`\lbrace \begin{array}{cc}\frac{{P}_{\mathit{lq}}(y,0)}{{F}_{0}}=1& \forall y`]; Le choix du type d'éléments finis a une influence considérable sur la solution obtenue au voisinage de la surface libre, autour de :math:`t=0` . Dans Code_Aster, la *modélisation sélective* (HMS) permet d'éliminer ces oscillations ( **Figure 2.2-a** ), contrairement à la modélisation classique (HM). Cependant, l'obtention de la *solution exacte pour la pression hydraulique* :math:`{P}_{\mathit{lq}}(y,0)` par la modélisation HMS se traduit par une approximation plus grande (par rapport à la modélisation HM, voir le cas du maillage fin de la **Figure 2.2-b** ) pour la *solution en déplacement vertical* :math:`{u}_{y}(y,0)` . Cette approximation est d'autant plus grande que le maillage est plus grossier autour de la surface libre. Enfin, on remarque que le déplacement calculé par le code Lagamine (Université de Liège) est parfaitement exacte et indépendant de la finesse du maillage, mais avec en contrepartie une solution en pression hydraulique très oscillante [:ref:` **HT66-05-012-A** < **HT66-05-012-A** >`]. Cela est du au type d'éléments finis utilisé par Lagamine qui sont différents des nôtres puisqu’il s'agit d'un P2P2 avec une quadrature 9PG/9PG. *Cet élément ne vérifie pas la condition inf-sup et ne peut donc donner une solution correcte en pression hydraulique* . Références bibliographiques --------------------------- 1. L.MEIROVITCH: *Analytical methods in vibrations* . McMillan Ed., 1967. 2. J.J.MARIGO, E.PLANCHAIS: *Introduction aux méthodes asymptotiques. Application à des problèmes thermiques linéaires* . Note EDF/DER/IMA/MMN HI-70/7563, 31/08/1992. .. image:: images/100002000000034E0000028F205921E847F318C3.png :width: 4.9598in :height: 3.7646in .. _RefImage_100002000000034E0000028F205921E847F318C3.png: Figure 2.2-a: Comparaison des solutions en contraintes effectives verticales (SIYY) et en pression hydraulique (SIP) obtenues au premier pas de calcul au voisinage de la surface libre (suivant une coupe verticale) pour différentes finesses de maillage et pour les modélisations sélective (HMS) et classique (HM) dans le cas du maillage «fin». Comparaison avec les solutions analytiques à :math:`t=0` . .. image:: images/100002000000033E0000026D65A028ED321F6406.png :width: 4.9598in :height: 3.6681in .. _RefImage_100002000000033E0000026D65A028ED321F6406.png: Figure 2.2-b: Comparaison du déplacement vertical de la surface libre en fonction du temps obtenu pour 3 maillages différents et Lagamine pour le maillage «fin». Comparaison des modélisations classique (HM) et sélective (HMS) de Code_Aster pour le maillage «fin». La solution analytique du problème est également représentée.