Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence [:ref:`bib1 <bib1>`]
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Ecrouissage isotrope : analytique
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

:math:`t=\mathrm{1s}` **(** :math:`T=0°C` **)** :

.. image:: images/Object_5.svg
    :width: 154
    :height: 50


.. _RefImage_Object_5.svg:

avec

.. image:: images/Object_6.svg
    :width: 154
    :height: 50


.. _RefImage_Object_6.svg:

soit

.. image:: images/Object_7.svg
    :width: 154
    :height: 50


.. _RefImage_Object_7.svg:

**Chauffage:** Déformation plastique maximum à :math:`t=\mathrm{1.45222s}` (:math:`T=45.222°C` ):


.. image:: images/Object_8.svg
    :width: 154
    :height: 50


.. _RefImage_Object_8.svg:

soit

.. image:: images/Object_9.svg
    :width: 154
    :height: 50


.. _RefImage_Object_9.svg:

Ensuite: la déformation plastique n’évolue plus.


Ecrouissage cinématique linéaire : analytique
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

:math:`t=\mathrm{1s}` **(** :math:`T=0°C` **)** :

.. image:: images/Object_10.svg
    :width: 154
    :height: 50


.. _RefImage_Object_10.svg:

**Chauffage:** Déformation plastique constante jusqu’à :math:`t=356/316=\mathrm{1.12658s}` (:math:`T=12.658°C` ):

Ensuite, la déformation plastique diminue pour atteindre à :math:`t=\mathrm{2s}` :

.. image:: images/Object_11.svg
    :width: 154
    :height: 50


.. _RefImage_Object_11.svg:


Ecrouissage cinématique non linéaire I : analytique
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

:math:`t=\mathrm{1s}` **(** :math:`T=0°C` **)** :

.. image:: images/Object_12.svg
    :width: 154
    :height: 50


.. _RefImage_Object_12.svg:

avec :math:`A=\frac{C}{D}=100` soit

.. image:: images/Object_14.svg
    :width: 154
    :height: 50


.. _RefImage_Object_14.svg:

**Chauffage:** Déformation plastique maximum à :math:`t=\mathrm{1.26011s}` (:math:`T=26.011°C` ):


.. image:: images/Object_15.svg
    :width: 154
    :height: 50


.. _RefImage_Object_15.svg:

soit

.. image:: images/Object_16.svg
    :width: 154
    :height: 50


.. _RefImage_Object_16.svg:

La déformation plastique n’évolue plus jusqu’à :math:`{t}_{1}=\mathrm{1.98332s}` (:math:`{T}_{1}=98.332°C` ) où on rencontre l’autre extrémité du domaine d’élasticité.

Ensuite: la déformation plastique diminue pour atteindre à :math:`t=\mathrm{2s}` :


.. image:: images/Object_17.svg
    :width: 154
    :height: 50


.. _RefImage_Object_17.svg:

avec

.. image:: images/Object_18.svg
    :width: 154
    :height: 50


.. _RefImage_Object_18.svg:

soit

.. image:: images/Object_19.svg
    :width: 154
    :height: 50


.. _RefImage_Object_19.svg:


Ecrouissage cinématique non linéaire II
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Comparaison à la solution de référence proposée à la journée :math:`{\Phi}^{2}\mathrm{As}` . (résultat numérique obtenu avec 10 pas de temps), et comparaison aux résultats obtenus avec *Code_Aster*  avec une discrétisation en temps très fine


.. csv-table::

    "Déformation plastique :math:`\mathrm{YY}`", "Calcul fin Aster: 100 pas jusqu'à :math:`\mathrm{1.26s}` ,
    100 pas entre 1.98 et 2s", "Référence :math:`{\Phi}^{2}\mathrm{As}` :
    Résultat pour 10 pas"
    ":math:`t=\mathrm{1s}`", "2.1072 10–03", "2.1072 10–03"
    ":math:`\mathrm{1.26s}<t<\mathrm{1.98s}`", "4.18947 10–03", "4.38 10–03"
    ":math:`t=\mathrm{2s}`", "4.12131 10–03", "4.32 10–03"



Précision sur les résultats de référence
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On a une solution analytique pour les trois premiers comportements, l’incertitude est donc nulle. Elle est estimée à :math:`\text{4\%}` pour le quatrième (écart entre le résultat pour 10 pas et celui pour 200 pas, la solution dépendant fortement de la discrétisation temporelle).


Références bibliographique
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1.  IPSI: journée d’étude Phi2AS du 30 mars 2000 sur les comportements non linéaires des matériaux.