Solution de référence
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Calcul de la solution de référence (cf. bib [:ref:`1 <1>`] et [:ref:`3 <3>`])
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Pour un essai de traction suivant la direction :math:`x` , les tenseurs de Kirchhoff :math:`\tau` et de Cauchy :math:`\sigma` sont de la forme:


.. image:: images/Object_22.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_22.svg:

et

.. image:: images/Object_23.svg
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    :height: 76


.. _RefImage_Object_23.svg:

avec

.. image:: images/Object_24.svg
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    :height: 76


.. _RefImage_Object_24.svg:

La variation de volume

.. image:: images/Object_25.svg
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    :height: 76


.. _RefImage_Object_25.svg:

est donnée par la résolution de


.. image:: images/Object_26.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_26.svg:

où

.. image:: images/Object_27.svg
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    :height: 76


.. _RefImage_Object_27.svg:

est la déformation thermique. Celle–ci vaut pour une transformation austénitique – bainitique:


.. image:: images/Object_28.svg
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.. _RefImage_Object_28.svg:

**Remarque:**

*Le coefficient K est le module de compression (à ne pas confondre avec les coefficients*

.. image:: images/Object_29.svg
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.. _RefImage_Object_29.svg:

*relatifs à la loi de plasticité de transformation)*

En charge plastique, pour un écrouissage isotrope

.. image:: images/Object_30.svg
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.. _RefImage_Object_30.svg:

linéaire, tel que :


.. image:: images/Object_31.svg
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.. _RefImage_Object_31.svg:

la déformation plastique cumulée

.. image:: images/Object_32.svg
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.. _RefImage_Object_32.svg:

vaut


.. image:: images/Object_33.svg
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.. _RefImage_Object_33.svg:

avec


.. image:: images/Object_34.svg
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.. _RefImage_Object_34.svg:

Les tenseurs gradients de la transformation

.. image:: images/Object_35.svg
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.. _RefImage_Object_35.svg:

et

.. image:: images/Object_36.svg
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.. _RefImage_Object_36.svg:

et le tenseur de déformations plastiques

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.. _RefImage_Object_37.svg:

sont de la forme:


.. image:: images/Object_38.svg
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.. _RefImage_Object_38.svg:

La loi d’évolution de la déformation plastique

.. image:: images/Object_39.svg
    :width: 100
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.. _RefImage_Object_39.svg:

s’écrit :


.. image:: images/Object_40.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_40.svg:


*   Pour

    .. image:: images/Object_41.svg
        :width: 100
        :height: 76


    .. _RefImage_Object_41.svg:

, on a

    .. image:: images/Object_42.svg
        :width: 100
        :height: 76


    .. _RefImage_Object_42.svg:

. Il n’y a pas de plasticité de transformation. On obtient alors:


.. image:: images/Object_43.svg
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    :height: 76


.. _RefImage_Object_43.svg:


*   Pour

    .. image:: images/Object_44.svg
        :width: 100
        :height: 76


    .. _RefImage_Object_44.svg:

, on a

    .. image:: images/Object_45.svg
        :width: 100
        :height: 76


    .. _RefImage_Object_45.svg:

.

Pour intégrer la loi d’évolution de la déformation plastique, il faut supposer que la contrainte de Kirchhoff :math:`\tau` varie très peu, c'est-à-dire que la variation de volume

.. image:: images/Object_46.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_46.svg:

est très petite. Sous cette hypothèse, on obtient


.. image:: images/Object_47.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_47.svg:

La composante

.. image:: images/Object_48.svg
    :width: 100
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.. _RefImage_Object_48.svg:

du gradient de la transformation est donnée par la résolution de:


.. image:: images/Object_49.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_49.svg:

Enfin, le champ de déplacement :math:`u` (dans la configuration initiale) est de la forme

.. image:: images/Object_50.svg
    :width: 100
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.. _RefImage_Object_50.svg:

. Les composantes sont données par:


.. image:: images/Object_51.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_51.svg:


Remarque
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Dans le cas test HSNV101 (modélisation B), les coefficients du matériau ont été choisis de telle manière à ne pas avoir de plasticité classique

.. image:: images/Object_52.svg
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.. _RefImage_Object_52.svg:

pendant la transformation métallurgique qui a lieu entre les instants :math:`60` et :math:`\mathrm{122s}` . En effet si on écrit le critère de charge–décharge dans cet intervalle de temps, on obtient


.. image:: images/Object_53.svg
    :width: 100
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.. _RefImage_Object_53.svg:

avec

.. image:: images/Object_54.svg
    :width: 100
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.. _RefImage_Object_54.svg:

qui ne s’annule que pour une seule valeur de la déformation plastique cumulée

.. image:: images/Object_55.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_55.svg:

.

Pour la loi de comportement écrite en grandes déformations, le critère de charge–décharge s’écrit entre ces deux instants


.. image:: images/Object_56.svg
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.. _RefImage_Object_56.svg:

avec

.. image:: images/Object_57.svg
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.. _RefImage_Object_57.svg:

Dans ce cas, tant que la variable

.. image:: images/Object_58.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_58.svg:

reste inférieure à la valeur obtenue au temps :math:`t=\mathrm{60s}` , on aura

.. image:: images/Object_59.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_59.svg:

. Or la valeur de

.. image:: images/Object_60.svg
    :width: 100
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.. _RefImage_Object_60.svg:

est fonction uniquement de la valeur de la déformation thermique (la contrainte :math:`\sigma` est constante et le coefficient

.. image:: images/Object_61.svg
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.. _RefImage_Object_61.svg:

est indépendant des phases métallurgiques et de la température).

Dans cet intervalle de temps, la déformation thermique

.. image:: images/Object_62.svg
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.. _RefImage_Object_62.svg:

est donnée par l’équation suivante:


.. image:: images/Object_63.svg
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.. _RefImage_Object_63.svg:

On trace ci–dessous la déformation thermique ainsi que la variation de volume

.. image:: images/Object_64.svg
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.. _RefImage_Object_64.svg:

, solution de l’équation du 3ème degré, en fonction du temps.


.. image:: images/1000331000003D7F00002B69672421D4547F00AE.svg
    :width: 100
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.. _RefImage_1000331000003D7F00002B69672421D4547F00AE.svg:

**Déformation thermique en fonction du temps**


.. image:: images/100033AC00003D7F00002B69D172F3B5518DB9D5.svg
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.. _RefImage_100033AC00003D7F00002B69D172F3B5518DB9D5.svg:

**Variation du volume**

.. image:: images/Object_65.svg
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.. _RefImage_Object_65.svg:

**en fonction du temps**

On constate que la variable

.. image:: images/Object_66.svg
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.. _RefImage_Object_66.svg:

diminue et augmente de la même manière que la déformation thermique. Dans ce cas, pour connaître l’instant à partir duquel la variable

.. image:: images/Object_67.svg
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.. _RefImage_Object_67.svg:

est supérieure à la valeur obtenue au temps :math:`\mathrm{60s}` , il suffit de connaître l’instant pour lequel la déformation thermique est identique à celle obtenue au temps :math:`t=\mathrm{60s}` . On trouve par la résolution de l’équation ci–dessus :math:`t=\mathrm{84.46s}` .


Incertitude sur la solution
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La solution est analytique. Deux erreurs sont commises sur cette solution. La première porte sur le calcul de la proportion de phase bainitique créée. Le calcul métallurgique préalable ne restitue pas exactement l’équation du [:ref:`§1.2 <§1.2>`] donnant

.. image:: images/Object_68.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_68.svg:

en fonction du temps, c’est pourquoi les résultats de référence présentés ci–dessous sont calculés avec la proportion de phase bainitique calculée par *Code_Aster* .

La seconde erreur est l’hypothèse faite sur la contrainte de Kirchhoff :math:`\tau` qui n’est pas constante sur l’intervalle de temps compris entre :math:`60` et :math:`\mathrm{176s}` . Ceci impactera le calcul du déplacement

.. image:: images/Object_69.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_69.svg:

et de la déformation plastique

.. image:: images/Object_70.svg
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    :height: 76


.. _RefImage_Object_70.svg:

.


Résultats de référence
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On adoptera comme résultats de référence le déplacement dans la direction du chargement de traction, la contrainte de Cauchy :math:`\sigma` , l’indicateur booléen de plasticité :math:`\chi` et la déformation plastique cumulée

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.. _RefImage_Object_71.svg:

. Les différents instants de calculs sont :math:`t=47,48,60,83,84,85` et :math:`\mathrm{176s}` . Pour le calcul du déplacement, la longueur initiale du barreau dans la direction de chargement est de :math:`\mathrm{0.2m}` .

Dans tous les cas, on a


*   :math:`\mathrm{3K}=500000\mathit{MPa}` (module de compression) :math:`\mu =76923.077\mathit{MPa}`

**Au temps** :math:`t=\mathrm{47s}` , on a

.. image:: images/Object_74.svg
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.. _RefImage_Object_74.svg:

,

.. image:: images/Object_75.svg
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.. _RefImage_Object_75.svg:

,

.. image:: images/Object_76.svg
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.. _RefImage_Object_76.svg:


.. image:: images/Object_77.svg
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.. _RefImage_Object_77.svg:

**Au temps** :math:`t=\mathrm{48s}` , on a

.. image:: images/Object_78.svg
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.. _RefImage_Object_78.svg:

,

.. image:: images/Object_79.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_79.svg:

,

.. image:: images/Object_80.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_80.svg:


.. image:: images/Object_81.svg
    :width: 100
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.. _RefImage_Object_81.svg:

**Au temps** :math:`t=\mathrm{60s}` , on a

.. image:: images/Object_82.svg
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.. _RefImage_Object_82.svg:

,

.. image:: images/Object_83.svg
    :width: 100
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.. _RefImage_Object_83.svg:

,

.. image:: images/Object_84.svg
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.. _RefImage_Object_84.svg:


.. image:: images/Object_85.svg
    :width: 100
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.. _RefImage_Object_85.svg:

**Au temps** :math:`t=\mathrm{83s}` , on a

.. image:: images/Object_86.svg
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.. _RefImage_Object_86.svg:

,

.. image:: images/Object_87.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_87.svg:

,

.. image:: images/Object_88.svg
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    :height: 76


.. _RefImage_Object_88.svg:


.. image:: images/Object_89.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_89.svg:

**Au temps** :math:`t=84` **s** , on a

.. image:: images/Object_90.svg
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.. _RefImage_Object_90.svg:

,

.. image:: images/Object_91.svg
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.. _RefImage_Object_91.svg:

,

.. image:: images/Object_92.svg
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.. _RefImage_Object_92.svg:


.. image:: images/Object_93.svg
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.. _RefImage_Object_93.svg:

**Au temps** :math:`t=\mathrm{85s}` , on a

.. image:: images/Object_94.svg
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.. _RefImage_Object_94.svg:

,

.. image:: images/Object_95.svg
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.. _RefImage_Object_95.svg:

,

.. image:: images/Object_96.svg
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.. _RefImage_Object_96.svg:


.. image:: images/Object_97.svg
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.. _RefImage_Object_97.svg:

**Au temps** :math:`t=\mathrm{176s}` , on a

.. image:: images/Object_98.svg
    :width: 100
    :height: 76


.. _RefImage_Object_98.svg:

,

.. image:: images/Object_99.svg
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.. _RefImage_Object_99.svg:

,

.. image:: images/Object_100.svg
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.. _RefImage_Object_100.svg:


.. image:: images/Object_101.svg
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.. _RefImage_Object_101.svg:


Références bibliographiques
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On pourra se référer à :


1.  V. CANO, E. LORENTZ: Introduction dans le *Code_Aster* d’un modèle de comportement en grandes déformations élastoplastique avec écrouissage isotrope – Note interne EDF DER HI‑74/98/006/0


2.  A.M. DONORE, F. WAECKEL: Influence des transformations structurales dans les lois de comportement élasto–plastiques Note HI–74/93/024


3.  F. WAECKEL, V. CANO: Loi de comportement grandes déformations élasto(visco)plastique avec transformations métallurgiques [:ref:`R4.04.03 <R4.04.03>`]