Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- On cherche le champ de déplacement :math:`U` sous la forme: .. image:: images/Object_6.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_6.svg: Le gradient de la transformation, la déformation et sa part mécanique sont alors: .. image:: images/Object_7.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_7.svg: avec: .. image:: images/Object_8.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_8.svg: **Remarque:** :math:`{({E}^{m})}_{\text{eq}}=\mid a-b\mid =a-b` (on suppose que :math:`a>b` ) La relation de comportement s'écrit: .. image:: images/Object_10.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_10.svg: avec: .. image:: images/Object_11.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_11.svg: Pour déterminer .. image:: images/Object_12.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_12.svg: en tenant compte de l'écrouissage linéaire, on introduit: * le module de cisaillement: .. image:: images/Object_13.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_13.svg: * le module d'écrouissage: .. image:: images/Object_14.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_14.svg: , La "pseudo variable interne" .. image:: images/Object_15.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_15.svg: vaut alors: .. image:: images/Object_16.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_16.svg: Finalement, .. image:: images/Object_17.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_17.svg: s'écrit: .. image:: images/Object_18.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_18.svg: En tenant compte des conditions aux limites: .. image:: images/Object_19.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_19.svg: Le système à résoudre s'écrit: .. image:: images/Object_20.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_20.svg: Il s'écrit aussi: .. image:: images/Object_21.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_21.svg: A .. image:: images/Object_22.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_22.svg: fixé, il s'agit donc d'un système non linéaire en .. image:: images/Object_23.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_23.svg: et .. image:: images/Object_24.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_24.svg: , puisque .. image:: images/Object_25.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_25.svg: est quadratique en .. image:: images/Object_26.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_26.svg: et .. image:: images/Object_27.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_27.svg: quadratique en .. image:: images/Object_28.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_28.svg: . Néanmoins, on peut choisir de fixer .. image:: images/Object_29.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_29.svg: (donc .. image:: images/Object_30.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_30.svg: ) et résoudre un système linéaire en .. image:: images/Object_31.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_31.svg: et .. image:: images/Object_32.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_32.svg: (duquel on déduit .. image:: images/Object_33.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_33.svg: et .. image:: images/Object_34.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_34.svg: ): * .. image:: images/Object_35.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_35.svg: * .. image:: images/Object_36.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_36.svg: * .. image:: images/Object_37.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_37.svg: * .. image:: images/Object_38.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_38.svg: Il reste alors à exprimer la contrainte de Cauchy: .. image:: images/Object_39.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_39.svg: Soit ici: .. image:: images/Object_40.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_40.svg: Quant à la force exercée sur la face [:ref:`3,4 <3,4>`], du fait de l'hypothèse de charges mortes, elle s'écrit simplement: .. image:: images/Object_41.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_41.svg: Résultats de référence ---------------------- On adoptera comme résultats de référence les déplacements, la contrainte de Cauchy et la force exercée sur la face :math:`[3,4]` (en :math:`\mathrm{3D}` seulement): **Au temps** :math:`t=\mathrm{2 }s` ( :math:`\Delta T=100°C` , traction .. image:: images/Object_43.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_43.svg: ) En fait, on cherche .. image:: images/Object_44.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_44.svg: tel que l'allongement: .. image:: images/Object_45.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_45.svg: * :math:`K=166\mathrm{666 }\mathit{MPa}` :math:`\mu =\mathrm{76 923 }\mathit{MPa}` :math:`R'=\mathrm{2 020 }\mathit{MPa}` * :math:`a=0.095` * .. image:: images/Object_50.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_50.svg: * .. image:: images/Object_51.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_51.svg: * .. image:: images/Object_52.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_52.svg: * .. image:: images/Object_53.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_53.svg: **Au temps** :math:`t=\mathrm{3 }s` .. image:: images/Object_54.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_54.svg: Le barreau est revenu dans son état initial: .. image:: images/Object_55.svg :width: 132 :height: 76 .. _RefImage_Object_55.svg: Incertitude sur la solution --------------------------- La solution est analytique. Aux erreurs d'arrondis près, on peut la considérer exacte. Références bibliographiques --------------------------- On pourra se référer à : 1. E. LORENTZ : Une relation de comportement hyperélastique non linéaire - Note interne EDF DER HI-74/95/011/0