Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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**Avant transformation** , solution thermo-élastique pour :math:`t<{\tau}_{1}` (pas de transformation métallurgique :math:`\dot{Z}=0` ).

:math:`\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)\\ {\sigma}_{zz}(t)={p}_{0}t\\ {\epsilon}_{zz}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)}{E}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})\end{array}`

La limite élastique est atteinte pour:

:math:`{\tau}_{1}=\frac{{\sigma}_{0}^{\mathit{aust}}}{{p}_{0}-{s}^{\mathit{aust}}\mu }`

**Pendant la transformation** , solution thermo-métallo-élasto-plastique, pour :math:`{\tau}_{1}\le t\le {\tau}_{2}` , :math:`{\tau}_{\mathrm{2 }}=\mathrm{40 }s` .

:math:`\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{pt}}(t)\\ {\sigma}_{zz}(t)={p}_{0}t\\ {\epsilon}_{zz}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)}{E}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={Z}_{\mathit{aust}}{\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})+{Z}_{\mathit{fbm}}\left({\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\right)\\ {\epsilon}_{zz}^{p}=\frac{{\sigma}_{zz}(t)-({Z}_{\mathit{aust}}{\sigma}_{y}^{\mathit{aust}}(T)+{Z}_{\mathit{fbm}}{\sigma}_{y}^{\mathit{fbm}}(T))}{{Z}_{\mathit{aust}}{H}^{\mathit{aust}}(T)+{Z}_{\mathit{fbm}}{H}^{\mathit{fbm}}(T)}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{pt}}(t)={k}^{\mathit{fbm}}\left({\sigma}_{zz}({\tau}_{1})-\frac{{p}_{0}}{2\lambda \varphi }\right)-{k}^{\mathit{fbm}}\left({\sigma}_{zz}(t)-\frac{{p}_{0}}{2\lambda \varphi }\right){(1-{Z}_{\mathit{fbm}})}^{2}\end{array}`

**Après transformation** , solution thermo-élasto-plastique, pour :math:`t\ge {\tau}_{2}`

:math:`\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{pt}}({\tau}_{2})\\ {\sigma}_{zz}(t)={p}_{0}t\\ {\epsilon}_{zz}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)}{E}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\\ {\epsilon}_{zz}^{p}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)-({\sigma}_{0}^{\mathit{fbm}}+{s}^{\mathit{fbm}}\mu t)}{{H}_{0}^{\mathit{fbm}}+{\lambda}^{\mathit{fbm}}\mu t}\end{array}`


Résultats de référence
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:math:`{\sigma}_{zz}^{}` , :math:`{\epsilon}_{zz}^{}` , :math:`{\epsilon}_{zz}^{p}` , :math:`{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}` , :math:`{\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}` , :math:`{\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}` et :math:`\chi` à :math:`\mathrm{24 }s` , :math:`\mathrm{26 }s` , :math:`\mathrm{40 }s` et :math:`\mathrm{90 }s` .

avec:

:math:`{\epsilon}^{\mathit{meca}}` : déformations mécaniques

:math:`{\epsilon}^{\mathit{plas}}` : déformations plastiques (incluant la plasticité de transformation)