Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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**Avant transformation** , solution thermo-élastique pour :math:`t<{\tau}_{1}^{'}` .

:math:`\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)\\ {\sigma}_{zz}(t)={p}_{0}t\\ {\epsilon}_{zz}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)}{E}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})\end{array}`

La limite élastique est atteinte pour:

:math:`{\tau}_{1}^{'}=\frac{{\sigma}_{0}^{\mathit{aust}}}{{p}_{0}-{s}^{\mathit{aust}}\mu }=47.06s`

**Avant transformation** , solution thermo-élasto-plastique, :math:`{\tau}_{1}^{'}\le t\le {\tau}_{1}` , :math:`{\tau}_{1}=\mathrm{60 }s` .

:math:`\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}(t)\\ {\sigma}_{zz}(t)={p}_{0}t\\ {\epsilon}_{zz}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)}{E}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})\\ {\epsilon}_{zz}^{p}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)-({\sigma}_{0}^{\mathit{aust}}+{s}^{\mathit{aust}}\mu t)}{{H}_{0}^{\mathit{aust}}+{\lambda}^{\mathit{aust}}\mu t}\end{array}`

**Pendant la transformation** , solution thermo-élasto-métallurgique, :math:`{\tau}_{1}<t<{\tau}_{2}` , :math:`{\tau}_{\mathrm{2 }}=\mathrm{112 }s` .

:math:`\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1})+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{pt}}(t)\\ {\sigma}_{zz}(t)={p}_{0}{\tau}_{1}\\ {\epsilon}_{zz}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)}{E}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={Z}_{\mathit{aust}}{\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})+{Z}_{\mathit{fbm}}\left({\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\right)\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{pt}}(t)={k}^{\mathit{fbm}}F({Z}_{\mathit{fbm}}){p}_{0}{\tau}_{1}\end{array}`

avec :math:`F({Z}_{\mathit{fbm}})={Z}_{\mathit{fbm}}(1-{Z}_{\mathit{fbm}})`

**Après la transformation** , solution thermo-élasto-plastique,

.. image:: images/Object_28.svg
    :width: 70
    :height: 19


.. _RefImage_Object_28.svg:

, :math:`{\tau}_{3}=\mathrm{176 }s` .

:math:`\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{pt}}({\tau}_{2})\\ {\sigma}_{zz}(t)={p}_{0}{\tau}_{1}\\ {\epsilon}_{zz}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)}{E}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\\ {\epsilon}_{zz}^{p}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)-({\sigma}_{0}^{\mathit{fbm}}+{s}^{\mathit{fbm}}\mu t)}{{H}_{0}^{\mathit{fbm}}+{\lambda}^{\mathit{fbm}}\mu t}\end{array}`


Résultats de référence
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:math:`{\epsilon}_{zz}^{p}` , :math:`\chi` , :math:`{\sigma}_{zz}` et :math:`{\epsilon}_{zz}` pour :math:`t=47,48,64` et :math:`114` secondes.

:math:`{\epsilon}_{zz}^{p}` pour :math:`t=60` et :math:`176` secondes.

:math:`{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}},{\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}` et :math:`{\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}` **dans le cas des modélisations B et D** , pour :math:`t=47,48,64` et :math:`114` secondes.

avec:

:math:`{\epsilon}^{\mathit{meca}}` : déformations mécaniques

:math:`{\epsilon}^{\mathit{plas}}` : déformations plastiques (incluant la plasticité de transformation)


Références bibliographiques
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1.  DONORE A.M. - WAECKEL F.: Influence des transformations structurales dans les lois de comportement élasto-plastiques Note HI-74/93/024.