Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Solution analytique a été déterminée par F. Voldoire (EDF R&D / AMA):

**Cas axisymétrique (** :math:`\mathrm{2D}` **)**

Champs de déplacement :math:`u={U}_{r}(r){e}_{r}`     (blocage en :math:`z` )

Champs de déformation : :math:`\varepsilon (u)=(\begin{array}{ccc}{u}_{r}'& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{{u}_{r}}{r}\end{array})` selon    :math:`(\begin{array}{c}r\\ z\\ \theta \end{array})`

Champs de contraintes : :math:`\sigma (u)={\sigma}_{l}(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array})(\mathrm{cf.}\mathrm{conditions}\mathrm{aux}\mathrm{limites})` selon :math:`(\begin{array}{c}r\\ z\\ \theta \end{array})`

**Cas parallélépipédique**

Champs de déplacement :math:`u={U}_{x}(x){e}_{x}+{U}_{y}(y){e}_{y}`     (blocage en :math:`z` )

Champs de déformation : :math:`\varepsilon (u)=(\begin{array}{ccc}{u}_{x}'& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& {u}_{y}'\end{array})` selon :math:`(\begin{array}{c}x\\ z\\ y\end{array})`

Champs de contraintes : :math:`\sigma (u)=\sigma (\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array})(\mathrm{cf.}\mathrm{conditions}\mathrm{aux}\mathrm{limites})` selon :math:`(\begin{array}{c}x\\ z\\ y\end{array})`

Le cas pourra être étudié en contraintes planes et en :math:`\mathrm{3D}` .


.. image:: images/100002000000018A0000012A11AB208A2C4730E1.png
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    :height: 1.9689in


.. _RefImage_100002000000018A0000012A11AB208A2C4730E1.png:

:math:`2\nu =\frac{E}{(1+\nu )}` :math:`K=\frac{E}{(1-2\nu )}`

**La loi de comportement**  s'écrit (variable interne scalaire :math:`p` ):

:math:`\varepsilon =\frac{1}{\mathrm{9K}}\mathrm{tr}\sigma \mathrm{Id}+\frac{1}{2\mu }{\sigma}^{D}+{\varepsilon}^{P}+\alpha (T–{T}^{0})\mathrm{Id}`

avec : :math:`{\sigma}^{D}=\sigma –\frac{1}{3}\mathrm{tr}(\sigma )\mathrm{Id}`     (déviateur des contraintes)

:math:`{\dot{\sigma}}^{P}=\frac{3}{2}\dot{p}\frac{{\sigma}^{D}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}\text{et}∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥=\sqrt{\frac{3}{2}{\sigma}^{D}.{\sigma}^{D}}`

:math:`\dot{p}=0` si :math:`f(\sigma ,p)=∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥–R(p)<0`

:math:`\dot{p}\ge 0` si :math:`f(\sigma ,p)=0`

:math:`R(p)` désigne la fonction d'écrouissage: :math:`R(p)={\sigma}_{y}+\frac{{\mathrm{EE}}_{T}}{E-{E}_{T}}p`

Le taux :math:`\dot{p}` peut être exprimé, lorsque :math:`f(\sigma ,p)=0` . En effet, de :math:`\dot{p}f` identiquement nul, on tire: :math:`\dot{p}\dot{f}+\ddot{p}f=0`

Ainsi, quand on est sur le critère , nécessairement :math:`\dot{f}=0` . C'est‑à-dire:

 :math:`\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}.{\dot{\sigma}}^{D}}{∥{\sigma}_{\mathit{éq}}∥}–\frac{\partial R}{\partial T}.\dot{T}–\frac{\partial R}{\partial p}\dot{p}=0`

 :math:`\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}.{\dot{\sigma}}^{D}}{∥{\sigma}_{\mathit{éq}}∥}+{\sigma}_{y}^{o}s\dot{T}-\frac{{\mathit{EE}}_{T}}{E-{E}_{T}}\dot{p}=0`

D'où:

 :math:`\dot{p}=\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}{\dot{\sigma}}^{D}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}+{\sigma}_{y}^{o}.s.\dot{T})`  si :math:`\dot{p}\ge 0` , pour :math:`∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥=R(p)`

Le champ de contraintes étant uniaxial, on a:

 :math:`{\sigma}^{D}=\frac{{\sigma}_{L}}{3}(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -1\end{array})`

Ainsi:

 :math:`∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥=∣{\sigma}_{L}∣`

et:

 :math:`{\dot{\varepsilon}}^{P}=\frac{\dot{p}}{2}.\mathrm{sgn}({\sigma}_{L}).(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -1\end{array})`

La relation de comportement conduit à:

 :math:`\lbrace \begin{array}{c}\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\frac{-\nu }{E}\dot{{\sigma}_{L}}-\frac{\dot{p}}{2}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+\alpha \dot{T}(={\dot{\varepsilon}}_{xx}={\dot{\varepsilon}}_{yy}\text{pour le cas du parallélépipède})\\ \dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\frac{-\nu }{E}\dot{{\sigma}_{L}}-\frac{\dot{p}}{2}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+\alpha \dot{T}\end{array}`

D'où:



 :math:`\lbrace \begin{array}{c}\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\frac{-3}{2}\alpha \dot{T}+\frac{1-2\nu }{2E}\dot{{\sigma}_{L}}\\ \dot{p}=\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})(-\alpha \dot{T}-\frac{\dot{{\sigma}_{L}}}{E})=0\text{si}∣{\sigma}_{L}∣<R(p)\\ \dot{p}=\mathrm{Max}[0,\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}\dot{{\sigma}^{D}}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}+{\sigma}_{y}^{o}.s.\dot{T})]\text{sinon}\end{array}`

C'est-à-dire, dans le cas :math:`∣{\sigma}_{L}∣=R(p)` (critère atteint):

:math:`\dot{p}=\max\left[0,\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}.{\dot{\sigma}}^{D}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}+{\sigma}_{y}^{o}.s.\dot{T})\right]`

Phase élastique
~~~~~~~~~~~~~~~

Au début du chargement thermique, :math:`∣{\sigma}_{L}∣` étant inférieur à :math:`{\sigma}_{y}` , :math:`\dot{p}` est nul.

D'où:    :math:`\dot{{\sigma}_{L}}=-E\alpha \dot{T};\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\alpha \dot{T}(1+\nu )`

Ainsi:    :math:`\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}_{L}=-E\alpha \theta t\\ {\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }=\alpha \theta (1+\nu )t\end{array}`         (compression :math:`{\sigma}_{L}<0` )

     Ceci correspond à la solution de référence pour le test de l'élasticité orthotrope

**Validité de la solution élastique**

Le critère est:    :math:`∣{\sigma}_{L}(t)∣-{\sigma}_{y}(t)=E=\theta t-{\sigma}_{y}^{o}(1-s\theta t)\le 0`

Le critère n'est pas franchi pour :math:`t=[0,{t}_{y}]` , avec: :math:`{t}_{y}=\frac{{\sigma}_{y}^{o}}{\theta (E\alpha +{\sigma}_{y}^{o}s)}`


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    :height: 1.5752in


.. _RefImage_10000200000001E60000012AD278620AEBD0A733.png:

A l'instant :math:`{t}_{y}` : :math:`{\sigma}_{L}({t}_{y})=\frac{-E\alpha {\sigma}_{y}^{o}}{E\alpha +{\sigma}_{y}^{o}s}`

.. code-block:: text

    La densité d’énergie de déformation vaut: :math:`w({t}_{y})=\frac{-1}{2}E{(\alpha \theta )}^{2}`

    Dans le cas parallélépipédique on a ::math:`w({t}_{y})=\frac{-1}{2}E{(\alpha \theta )}^{2.}({x}_{B}-{x}_{A})H`

    Dans le cas axisymétrique on a: :math:`w({t}_{y})=\frac{-1}{2}E{(\alpha \theta )}^{2}.\frac{({r}_{B}^{2}-{r}_{A}^{2})}{2}H`(pour 1 radian)


Phase élastoplastique
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

:math:`t\ge {t}_{y}` . On est sur le critère. Alors:

 :math:`\dot{p}=\max\left[0,\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\dot{{\sigma}_{L}}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+{\sigma}_{y}^{o}.s.\dot{T})\right]`

En admettant que l'on soit "en charge" :math:`\dot{p}\ge 0` , alors on élimine :math:`\dot{p}` pour avoir:

 :math:`\dot{{\sigma}_{L}}=-{E}_{T}.\dot{T}(\alpha +\mathrm{sgn}({\sigma}_{L}).\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}{\sigma}_{y}^{o}.s)`

puis:

 :math:`\dot{p}=\frac{E-{E}_{T}}{E}\dot{T}(-\alpha \mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+\frac{{\sigma}_{y}^{o}.s}{E})`

:math:`t={t}_{y}` , :math:`{\sigma}_{L}=-E\alpha \theta {t}_{y}<0` ; on intègre alors ces expressions pour :math:`t\ge {t}_{y}(\dot{T}=\theta )` :


*
    *       :math:`\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}_{L}(t)=-{E}_{T}.\theta (t-{t}_{y})[\alpha -\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}s{\sigma}_{y}^{o}]-{\sigma}_{L}(t-y)\\ p(t)=\frac{{\sigma}_{y}^{o}(E-{E}_{T})}{{E}^{2}}(\frac{t}{{t}_{y}}-1)\end{array}`

Soit, après réarrangement, :math:`t\ge {t}_{y}` :

 :math:`\lbrace  \begin{array}{c}{\sigma}_{L}(t)={\sigma}_{y}^{o}(s\theta t-1+\frac{{E}_{T}}{E}(1-\frac{t}{{t}_{y}}))\\ p(t)=\frac{{\sigma}_{y}^{o}(E-{E}_{T})}{{E}^{2}}(\frac{t}{{t}_{y}}-1)\end{array}`

**Validité de cette solution élastoplastique**

Il faut s'assurer que :math:`{\sigma}_{L}(t)` reste négatif. Sachant que :math:`s\theta t<1` , et que :math:`t>{t}_{y}` , le résultat précédent confirme que :math:`{\sigma}_{L}(t)<0` . Enfin, on remarque que:

 :math:`\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})\frac{1-2\nu }{2}\dot{p}+\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\alpha (1+\nu )\dot{T}`

d'où, puisque :math:`{\sigma}_{L}(t)<0` :

 :math:`{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}(t)={\varepsilon}_{\theta \theta }(t)=\alpha \theta (1+\nu )t+\frac{1-2\nu }{2}p(t),\forall t\in \left[{t}_{y},{t}_{\mathrm{fin}}\right]`


Cas particulier des modélisations H et I
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La déformation thermique est remplacée par une déformation anélastique donnée. Comme :math:`s=0` ,

:math:`{\sigma}_{L}=-E\alpha \theta`     :math:`{\varepsilon}_{xx}={\varepsilon}_{zz}=\alpha \theta (1+\nu )t`

La solution reste élastique tant que :math:`t<{t}_{y}=\frac{{\sigma}_{0}}{\theta E\alpha }=200s`


Résultats de référence
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:math:`{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}` Ou :math:`{\varepsilon}_{xx}` , :math:`{\sigma}_{zz}` et :math:`p` en :math:`{t}_{y}` et au-delà:

**Phase élastique**  : pour :math:`t<{t}_{y}` :

:math:`{\sigma}_{L}=-E\alpha \theta t`     :math:`{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }=\alpha \theta (1+\nu )t`     en axisymétrique

     :math:`{\varepsilon}_{xx}=\alpha \theta (1+\nu )t`         en contraintes planes

La limite élastique est atteinte en :math:`{t}_{y}=\frac{{\sigma}_{0}}{\theta (E\alpha +{\sigma}_{0}s)}=66.666s` d'où :math:`{\sigma}_{L}({t}_{y})=\frac{\sigma}{(1+{\sigma}_{0}\frac{s}{E\alpha })}`

**Phase élastoplastique**  : pour :math:`t\ge {t}_{y}`

 :math:`{\sigma}_{L}(t)={\sigma}_{0}(s\theta t-1+\frac{{E}_{t}}{E}(1-\frac{t}{{t}_{y}}))`

 :math:`p(t)=\frac{{\sigma}_{0}(E-{E}_{T})}{{E}^{2}}(\frac{t}{{t}_{y}}-1)`

 :math:`{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }=\alpha \theta (1+\nu )t+\frac{1-2\nu }{2}p(t)`     en axisymétrique

ou    :math:`{\varepsilon}_{xx}={\varepsilon}_{\theta \theta }=\alpha \theta (1+\nu )t+\frac{1-2\nu }{2}p(t)`     en contraintes planes

D'où:

**phase élastique**

:math:`\begin{array}{c}\lbrace \begin{array}{c}{t}_{y}=66.666s\\ {\sigma}_{L}({t}_{y})=-133.333\mathrm{MPa}\end{array}\\ {\varepsilon}_{\mathrm{rr}}({t}_{y})={\varepsilon}_{\theta \theta }({t}_{y})=0.86666{E}^{-3}\end{array}\rbrace \text{phase élastique}`

:math:`W=4.44410-3\mathrm{MPa}`

:math:`W=0.17778{\mathrm{MPa.mm}}^{2}` (PLAN ou 3D)

:math:`W=0.26666{\mathrm{Mpa.mm}}^{3}.\mathrm{rad}-1` (axi)

**Puis phase élastoplastique** :

:math:`àt=80s` :    :math:`\sigma (80)=-\mathrm{100.0MPa}`

     :math:`p(80)=0.300{E}^{-3}`

     :math:`{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}(80)={\varepsilon}_{\theta \theta }(80)=1.1{E}^{-3}`

à :math:`t=90s` :    :math:`\sigma (90)=-\mathrm{75.0MPa}`

     :math:`p(90)=0.525{E}^{-3}`

     :math:`{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}(90)={\varepsilon}_{\theta \theta }(90)=1.275{E}^{-3}`


Cas particulier des modélisations H et I
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À :math:`t=66.67s`     :math:`{\sigma}_{L}(66.67)=-133.33\mathrm{MPa}`

     :math:`{\varepsilon}_{xx}(66.67)={\varepsilon}_{zz}(66.67)=8.667{E}^{-4}`

À :math:`t=80s`     :math:`{\sigma}_{L}(80)=-160\mathrm{MPa}`

     :math:`{\varepsilon}_{xx}(80)={\varepsilon}_{zz}(80)=8.667{E}^{-4}`

À :math:`t=90s`     :math:`{\sigma}_{L}(90)=-180\mathrm{MPa}`

     :math:`{\varepsilon}_{xx}(90)={\varepsilon}_{zz}(90)=8.667{E}^{-4}`


Incertitude sur la solution
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Solution analytique.