Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- On peut calculer la solution analytique correspondant au pré-écrouissage (traction monotone, modélisation A): Le système d’équations du problème avec effet de mémoires’écrit(20 équations)[R5.03.04]: **Élasticité** : :math:`\tilde{\sigma}=2\mu (\tilde{\varepsilon}-{\varepsilon}^{p})` Critère de plasticité .. image:: images/Object_3.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_3.svg: Écoulement plastique : .. image:: images/Object_4.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_4.svg: avec .. image:: images/Object_5.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_5.svg: **Écrouissage isotrope** : .. image:: images/Object_6.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_6.svg: **Mémoire d’écrouissage maximal:** .. image:: images/Object_7.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_7.svg: où q est déterminé par: * un domaine .. image:: images/Object_8.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_8.svg: caractérisant les déformations plastiques maximales, dont q mesure le rayon et .. image:: images/Object_9.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_9.svg: le centre * :math:`\xi` est calculé suivant une loi de normalité c’est à dire: .. image:: images/Object_11.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_11.svg: , avec .. image:: images/Object_12.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_12.svg: Sur la surface du domaine d’écrouissage maximal, on a :math:`F=0` . En appliquant la condition :math:`\mathit{dF}=0` , on obtient l’expression en vitesse: .. image:: images/Object_13.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_13.svg: Pour un point matériel en charge uni-axiale, les champs (uniformes) ont pour composantes: .. image:: images/1000068A000069D500002BED0D930C5C37981D8D.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_1000068A000069D500002BED0D930C5C37981D8D.svg: Dans ce cas, lors de la première charge uni-axiale dans la direction x : .. image:: images/Object_14.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_14.svg: Dans ce cas, .. image:: images/Object_15.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_15.svg: , implique que .. image:: images/Object_16.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_16.svg: . Dans ce cas, .. image:: images/Object_17.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_17.svg: De plus, dans le cas d’un cycle de traction compression symétrique (en déformation plastique), on obtient, lors de la première décharge symétrique(avec .. image:: images/Object_18.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_18.svg: ): .. image:: images/Object_19.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_19.svg: .. image:: images/Object_20.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_20.svg: .. image:: images/Object_21.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_21.svg: .. image:: images/Object_22.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_22.svg: ce qui correspond bien au résultat attendu (cf. [:ref:`bib2 `]): domaine :math:`F=0` centré sur l’origine, et de rayon la demi-amplitude de déformation plastique. Dans le cas d’une traction croissante, et si l’écrouissage cinématique est négligé, les équations à résoudre deviennent: .. image:: images/Object_23.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_23.svg: Il faut donc calculer la fonction .. image:: images/Object_24.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_24.svg: , telle que: .. image:: images/Object_25.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_25.svg: avec .. image:: images/Object_26.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_26.svg: . De plus, on considère que l’on est en charge, donc .. image:: images/Object_27.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_27.svg: .. image:: images/Object_28.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_28.svg: Il faut donc intégrer l’équation différentielle: .. image:: images/Object_29.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_29.svg: ce qui s’intègre de la façon suivante: .. image:: images/Object_30.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_30.svg: => .. image:: images/Object_31.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_31.svg: Méthode de variation de la constante: .. image:: images/Object_32.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_32.svg: .. image:: images/Object_33.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_33.svg: .. image:: images/Object_34.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_34.svg: en intégrant: .. image:: images/Object_35.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_35.svg: d’où .. image:: images/Object_36.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_36.svg: La constante :math:`K` est définie par les conditions initiales: pour :math:`p=0` , :math:`R=0` .. image:: images/Object_37.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_37.svg: soit .. image:: images/Object_38.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_38.svg: Finalement: .. image:: images/Object_39.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_39.svg: On a donc en charge: :math:`\sigma ={R}_{0}+R(p)` Résultats de référence ---------------------- **Modélisation A:** Valeur de :math:`\mathit{SIXX}` à l’instant final: :math:`\sigma ={R}_{0}+R(p)` avec .. image:: images/Object_42.svg :width: 255 :height: 49 .. _RefImage_Object_42.svg: :math:`t=\mathrm{8s}` , on doit retrouver :math:`\mathit{SIXX}=120\mathit{Mpa}` . Pour cela on calcul :math:`R(p)` à partir de la valeur de :math:`p` à l’instant :math:`t=\mathrm{8s}` . **Modélisation B:** On comparera les résultats obtenues avec VISC_CIN2_MEMO avec ceux obtenus avec VISCOCHAB, à la fin du pré-écrouissage et au bout de 10 cycles. Les courbes ci-dessous mettent en évidence de l’effet de mémoire (par comparaison avec VISC_CIN2_CHAB qui ne le modélise pas ): après un pré-écrouissage, les cycles à déformation imposée se stabilisent à une amplitude de contraintes supérieure à celle obtenue sans effet de mémoire: .. image:: images/1000000000000250000001B2D75C368820175D8E.png :width: 56 :height: 26 .. _RefImage_1000000000000250000001B2D75C368820175D8E.png: Incertitude sur la solution --------------------------- * Modélisation A: analytique * Modélisation B: inter-comparaison entre VISCOCHAB et VISC_CIN2_MEMO: précision de l’intégration numérique, estimée à moins de :math:`\text{1\%}` . * Modélisation C : validation ddes comportements en 2D AXIS ; les résultats doivent être identiques à ceux de la modélisation B. Références bibliographiques --------------------------- 1. R5.03.04 «Comportements élasto-visco-plastiques de J.L.Chaboche». 2. J.M.PROIX «Comportement viscoplastique prenant en compte la non proportionnalité du chargement» EDF R&D-CR-AMA12-284, 12/12/12