Solution de référence
=====================

On affecte à l’élément discret, via la loi de comportement bilinéaire, deux raideurs :math:`{K}_{1}` et :math:`{K}_{2}` fonctions de la température de la forme :math:`{K}_{i}={\alpha}_{i}-{\beta}_{i}\dot{T}` .

On fixe arbitrairement ici:

:math:`{\alpha}_{1}=2\dot{{\alpha}_{2}}={2.10}^{8}{\mathrm{N.m}}^{-1}`

:math:`{\beta}_{1}=2\dot{{\beta}_{2}}={4.10}^{6}{\mathrm{N.m}}^{-1}`

On vérifie que, quelque soit le déplacement :math:`U` ou l’effort de contrainte :math:`{F}_{P}` que l’on impose, on obtient une réaction nodale :math:`F` du discret vérifiant la loi élastique :math:`\Delta F={K}_{i}.\Delta U` , où :math:`i=1` si :math:`F\le {F}_{P}` et :math:`i=2` si :math:`F>{F}_{P}` .


.. image:: images/Shape3.gif


.. _RefSchema_Shape3.gif:

On relève les réactions nodales du discret pour des déplacements (:math:`{U}_{1}<{U}_{2}` ) situés de part et d’autre de la rupture de pente.

La rupture de pente ayant lieu pour :math:`{U}_{P}={F}_{P}/{K}_{1}` , on obtient directement les solutions de référence:

:math:`{F}_{1}={K}_{1}.{U}_{1}` et :math:`{F}_{2}={F}_{P}+{K}_{2}.({U}_{2}-{U}_{P})`

soit :math:`{F}_{2}={F}_{P}.(1-{K}_{2}/{K}_{1})+{K}_{2}.{U}_{2}`