Solutions de référence ====================== Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence ---------------------------------------------------------- Modélisation A ~~~~~~~~~~~~~~ Les équations régissant le comportement sont des équations différentielles non linéaires. Pour valider la réponse obtenue avec *Code_Aster* en statique non linéaire une intégration par une méthode de Runge-Kutta est réalisée avec un outil externe à *Code_Aster* . La comparaison est réalisée sur le déplacement et sur l’effort, pour les 4 types de d’éléments discrets. .. image:: images/10000201000005FE000003D2E5308AB1F2B5F4F6.png :width: 5.9055in :height: 3.7445in .. _RefImage_10000201000005FE000003D2E5308AB1F2B5F4F6.png: **Figure** 2.1.1-a **: Courbe Force déplacement, modélisation A.** La réponse donnée par *Code_Aster* est testée pour les valeurs suivantes: .. csv-table:: "**Instant**", "**Déplacement** :math:`{U}_{x}`", "**Force** :math:`{F}_{x}`" "2.00E-02", "5.877852523E-02", "2.187710580E+00" "4.00E-02", "9.510565163E-02", "2.829192223E+00" "6.00E-02", "9.510565163E-02", "2.035749590E+00" "8.00E-02", "5.877852523E-02", "2.402408962E-01" "1.00E-01", "-1.653950414E-16", "-1.851221553E+00" "1.32E-01", "-8.443279255E-02", "-3.445042947E+00" "2.00E-01", "4.196133458E-16", "1.745702939E+00" "2.32E-01", "8.443279255E-02", "3.409095131E+00" "2.68E-01", "8.443279255E-02", "1.626471785E+00" "3.16E-01", "-4.817536741E-02", "-2.962435650E+00" "3.56E-01", "-9.822872507E-02", "-2.590008311E+00" "4.12E-01", "3.681245527E-02", "2.724835444E+00" "4.36E-01", "9.048270525E-02", "3.394150679E+00" "5.20E-01", "-5.877852523E-02", "-3.151025904E+00" "6.24E-01", "6.845471059E-02", "3.289283317E+00" "7.16E-01", "-4.817536741E-02", "-2.962278876E+00" "8.00E-01", "1.678385621E-15", "1.750844985E+00" "8.16E-01", "4.817536741E-02", "2.962278875E+00" "8.48E-01", "9.980267284E-02", "3.047135026E+00" "9.40E-01", "-9.510565163E-02", "-3.326860603E+00" "9.68E-01", "-8.443279255E-02", "-1.627037269E+00" "1.00E+00", "-1.224606354E-16", "1.750844985E+00" **Tableau** 2.1.1-a **: Déplacement et Efforts, modélisation A.** Modélisation B ~~~~~~~~~~~~~~ Cette modélisation statique non linéaire permet de tester, en plus de la loi de comportement, la dissipation lors d’un chargement cyclique stabilisé. La dissipation est comparée à une valeur théorique obtenue dans le cas particulier :math:`{\alpha}_{3}=1.0` . Remarque: Pour un chargement cyclique avec :math:`{\alpha}_{3}\ne 1` le calcul théorique de la dissipation n’est pas accessible, sauf pour un cycle stabilisé. La réponse donnée par *Code_Aster* est testée pour les valeurs suivantes: .. csv-table:: "**Instant**", "**Déplacement** :math:`{U}_{x}`", "**Force** :math:`{F}_{x}`" "2.00E-02", "5.877852523E-02", "2.160195640E+00" "4.00E-02", "9.510565163E-02", "2.849834733E+00" "6.00E-02", "9.510565163E-02", "2.052734480E+00" "8.00E-02", "5.877852523E-02", "2.258915314E-01" "1.00E-01", "-1.653950414E-16", "-1.838798378E+00" "1.32E-01", "-8.443279255E-02", "-3.611426479E+00" "2.00E-01", "4.195726882E-16", "1.674446965E+00" "2.32E-01", "8.443279255E-02", "3.535539017E+00" "2.68E-01", "8.443279255E-02", "1.730277335E+00" "3.16E-01", "-4.817536741E-02", "-2.984761046E+00" "3.56E-01", "-9.822872507E-02", "-2.752278435E+00" "4.12E-01", "3.681245527E-02", "2.719185079E+00" "4.36E-01", "9.048270525E-02", "3.544941424E+00" "5.20E-01", "-5.877852523E-02", "-3.201565830E+00" "6.24E-01", "6.845471059E-02", "3.368686714E+00" "7.16E-01", "-4.817536741E-02", "-2.983942123E+00" "8.00E-01", "1.678385621E-15", "1.687931415E+00" "8.16E-01", "4.817536741E-02", "2.983942066E+00" "8.48E-01", "9.980267284E-02", "3.223403140E+00" "9.40E-01", "-9.510565163E-02", "-3.492301297E+00" "9.68E-01", "-8.443279255E-02", "-1.732887550E+00" "1.00E+00", "-1.224606354E-16", "1.687931421E+00" **Tableau** 2.1.2-a : Déplacement et Efforts, modélisation B. Le calcul de la dissipation sur un cycle stabilisé est obtenu en intégrant les équations du système dans le cas particulier où :math:`{\alpha}_{3}=1` . Sur un cycle stabilisé, pour :math:`{\alpha}_{3}=1` , la valeur de la dissipation est: :math:`\Delta D=\frac{\pi .{U}_{0}^{2}.{E}_{1}^{2}.{E}_{3}^{2}.\omega .{C}_{3}}{{\omega}^{2}.{C}_{3}^{2}.{({E}_{1}+{E}_{2}+{E}_{3})}^{2}+{({E}_{1}+{E}_{2})}^{2}.{E}_{3}^{2}}` [:ref:`éq2.1.2-1 <éq2.1.2-1>`] Modélisation C ~~~~~~~~~~~~~~ Cette modélisation statique non linéaire permet de tester la loi de comportement lors d’un essai de type fluage. Le déplacement est imposé et reste constant: :math:`{U}_{0}=0.1` . La réponse de la loi de comportement ainsi que la dissipation sont comparées aux valeurs théoriques obtenues dans le cas particulier :math:`{\alpha}_{3}=0.5` . Les équations différentielles intégrées dans le cas particulier de :math:`U` constant et de :math:`{\alpha}_{3}=0.5` donnent les équations de l’effort et de la dissipation en fonction du temps: :math:`F(t)=\frac{{U}_{0}.{E}_{1}.({\mathrm{AA}}_{s}+{\mathrm{BB}}_{s}.{E}_{2}.t)}{{({E}_{3}+{E}_{2}+{E}_{1})}^{2}.{C}_{3}^{2}+{\mathrm{BB}}_{s}.({E}_{2}+{E}_{1}).t}` [:ref:`éq2.1.3-1 <éq2.1.3-1>`] :math:`D(t)=\frac{{U}_{0}^{3}.{E}_{1}^{3}.{E}_{3}^{3}}{2.({E}_{3}+{E}_{2}+{E}_{1})}.\mathit{t.}\frac{(2.{\mathit{AA}}_{e}+{\mathit{BB}}_{e}.t)}{{({\mathit{AA}}_{e}+{\mathit{BB}}_{e}.t)}^{2}}` [:ref:`éq2.1.3-2 <éq2.1.3-2>`] avec :math:`\lbrace \begin{array}{}{\mathrm{AA}}_{s}=({E}_{3}+{E}_{2}).({E}_{1}+{E}_{2}+{E}_{3}).{C}_{3}^{2}\\ {\mathrm{BB}}_{s}={U}_{0}.{E}_{1}.{E}_{3}^{2}\end{array}\lbrace \begin{array}{}{\mathrm{AA}}_{e}={({E}_{3}+{E}_{2}+{E}_{1})}^{2}.{C}_{3}^{2}\\ {\mathrm{BB}}_{e}={U}_{0}.{E}_{1}.{E}_{3}^{2}.({E}_{2}+{E}_{1})\end{array}` Modélisation D ~~~~~~~~~~~~~~ Les équations régissant le comportement sont des équations différentielles non linéaires. Pour valider la réponse obtenue avec *Code_Aster* en statique non linéaire une intégration par une méthode de Runge-Kutta est réalisée avec un outil externe à *Code_Aster* . La comparaison est réalisée sur le déplacement et sur l’effort. .. image:: images/100002010000052D0000042C70180983A2C042CE.png :width: 5.9055in :height: 4.7598in .. _RefImage_100002010000052D0000042C70180983A2C042CE.png: **Figure** 2.1.4-a **: Courbe Force déplacement, modélisation D.** La réponse donnée par *Code_Aster* est testée pour les valeurs suivantes: .. csv-table:: "**Instant**", "**Déplacement** :math:`{U}_{x}`", "**Force** :math:`{F}_{x}`" "4.000E-03", "1.2533323356430E-02", "1.3901305564654E+00" "4.800E-02", "9.9802672842827E-02", "1.5399690347096E+00" "1.000E-01", "-1.6539504141266E-16", "-2.9840799981192E+00" "1.360E-01", "-9.0482705246602E-02", "-2.2555706075403E+00" "2.040E-01", "1.2533323356431E-02", "2.9999350282465E+00" "2.480E-01", "9.9802672842827E-02", "1.5401915597398E+00" "3.040E-01", "-1.2533323356431E-02", "-2.9999350282852E+00" "3.480E-01", "-9.9802672842827E-02", "-1.5401915597074E+00" "4.040E-01", "1.2533323356431E-02", "2.9999350282970E+00" "5.000E-01", "-1.0045133128078E-15", "-2.9840798812719E+00" "5.600E-01", "-9.5105651629515E-02", "-4.1551773591104E-01" "6.000E-01", "1.3475548801822E-15", "2.9840798812750E+00" "6.400E-01", "9.5105651629516E-02", "2.0490126532863E+00" "7.040E-01", "-1.2533323356432E-02", "-2.9999350283063E+00" "7.480E-01", "-9.9802672842827E-02", "-1.5401915596821E+00" "8.040E-01", "1.2533323356432E-02", "2.9999350283073E+00" "8.480E-01", "9.9802672842827E-02", "1.5401915596806E+00" "9.040E-01", "-1.2533323356432E-02", "-2.9999350283079E+00" "9.480E-01", "-9.9802672842827E-02", "-1.5401915596795E+00" "1.000E+00", "-1.2240642527361E-16", "2.9840798812793E+00" **Tableau** 2.1.4-a : Déplacement et Efforts, modélisation D. Incertitude sur la solution --------------------------- Modélisation A ~~~~~~~~~~~~~~ *Pour la réponse en effort, déplacement:* La solution de référence est obtenue par intégration numérique d’un système différentiel non linéaire. Modélisation B ~~~~~~~~~~~~~~ *Pour la réponse en effort, déplacement:* La solution de référence est obtenue par intégration numérique d’un système différentiel, avec une méthode de type Runge-Kutta d’ordre 5. *Pour la dissipation:* Aucune incertitude, la solution est analytique. Modélisation C ~~~~~~~~~~~~~~ *Pour la réponse en effort, déplacement:* Aucune incertitude, la solution est analytique. *Pour la dissipation :* Aucune incertitude, la solution est analytique. Modélisation D ~~~~~~~~~~~~~~ *Pour la réponse en effort, déplacement:* La solution de référence est obtenue par intégration numérique d’un système différentiel.