Solution de référence ===================== Méthode de calcul ----------------- Un certain nombre de quantités décrites dans le modèle VISC_ISOT_PLAS [:ref:`R5.03.38`] sont d'abord calculées explicitement : .. math:: \begin{array}{l} \mu := \dfrac{E}{ 2 \left( 1 + \nu \right) } \\ \\ \sigma_{HP} := \mu \sqrt{ \dfrac{ 3.3090\text{e-}11 }{ \text{TAILLE_GRAIN} } } \\ \\ \sigma_{VD} := 2.5\text{e}7 \, \text{min} \left[ \text{max} \left( 0, 0.01 \, T - 2 \right), 1 \right] \\ \\ \sigma_{VS0} := 8\text{e}7 - 2\text{e}5 \left( 150 + T \right) \\ L := \dfrac{1}{ 2.222222222\text{e-}4 + 6.7925\text{e-}6 \, \sqrt{ 1\text{e-}22 \, \text{C_AMAS} } } \\ \\ f := \text{min} \left( 1.178 + 0.019 \, T, 6.8 \right) \\ \\ H := \dfrac{ \mu^{2} }{ 4 \, L \, f } \\ \\ H_{0} := \mu^{2} \, 1.5376\text{e-}20 \, \text{D_DISLOC} \\ \\ \sigma_{I} := \sqrt{ \mu^{2} \, 3.35\text{e-}8 \, \left( 1\text{e}9 \, \text{TAILLE_AMAS} \right)^{2.3} \, \left( 1\text{e-}22 \, \text{C_AMAS} \right)^{1.142857} } \\ \\ \sigma_{C0} := \sigma_{HP} + \sigma_{VD} + \sigma_{VS0} + \sqrt{\left( \sigma_{I} \right)^{2} + 4 \, H_{0} } \\ \\ \sigma_{E} := 900\text{e}6 \, \left[ 1 - \left( T + 273.15 \right) \dfrac{19.3289}{9744} \right]^{2} \\ \\ \sigma_{D} := 5\text{e}6 \, \left( 1 \text{e}6 \right)^{0.1} \\ \end{array} Ensuite, on définit une liste de :math:`1001` instants (notés :math:`t`) décrivant l'intervalle :math:`\left[ 0; 1 \right]` avec un pas de discrétisation constant (égal à :math:`0.001`). On rappelle que lorsqu'on simule une loi de comportement sur un point matériel, le tenseur des déformations totales :math:`\varepsilon^{tot}` peut être assimilé à un scalaire et de même pour le tenseur des contraintes :math:`\sigma`. On assimile alors initialement la déformation totale imposée de référence :math:`\varepsilon^{tot}_{ref}` à cette liste d'instants tandis que la contrainte de référence est initialisée comme si le comportement était élastique *i.e.* comme si :math:`\varepsilon^{elas}_{ref} = \varepsilon^{tot}_{ref}`. Autrement dit, on pose :math:`\sigma_{ref}(t) := E t` ainsi que :math:`\varepsilon^{tot}_{ref}(t) = t`. Puis, on regarde à partir de quel instant le régime (visco-)plastique commence c'est-à-dire à partir du moment où :math:`\sigma` dépasse le seuil :math:`\sigma_{C0}` déjà calculé: c'est lorsque :math:`\varepsilon^{tot}_{ref} > \frac{\sigma_{C0}}{E}`. On suit alors l'évolution de la déformation plastique cumulée, notée ici :math:`p` et égale à la déformation (visco-)plastique :math:`\varepsilon^{vp}_{ref}` dans le cas d'un point matériel. Autrement dit, lorsque :math:`t > \frac{\sigma_{C0}}{E}`, on impose :math:`p(t):= t - \frac{\sigma_{C0}}{E}`. Il en découle un certain nombre d'évaluations qui permettent de mettre à jour de nouvelles valeurs de références pour :math:`\sigma_{ref}` et :math:`\varepsilon^{tot}_{ref}` à ces instants :math:`t` du régime (visco-)plastique : .. math:: \begin{array}{l} \sigma_{VS} : = \sigma_{VS0} \text{exp} \left( -200 p \right) \\ \\ \sigma_{auto} := \sqrt{ H_{0} \text{exp} \left( -3 f p \right) + H \left[ 4 - \text{exp} \left( - 3 f p \right) - 3 \text{exp} \left( -p \right) \right] } \\ \\ \sigma_{LT} : = \text{max} \left[ 0, \sqrt{ 3 \left(\sigma_{auto} \right)^{2} } - \sigma_{E} \right] \\ \\ \sigma_{ref} := \sigma_{D} + \sigma_{E} + \sigma_{HP} + \sigma_{VD} + \sigma_{VS} + \sqrt{\left( \sigma_{I} \right)^{2} + \left( \sigma_{auto} \right)^2 + \left(\sigma_{LT} \right)^{2} } \\ \\ \varepsilon^{tot}_{ref} := p + \dfrac{\sigma_{ref}}{E} \\ \\ \end{array} Grandeurs et résultats de référence ----------------------------------- On a ainsi obtenu des valeurs de référence :math:`\varepsilon_{ref}^{tot}` pour la déformation totale qui seront imposées en entrée du test dans la macro-commande :ref:`SIMU_POINT_MAT` via l'opérande :ref:`EPXX` du mot-clé facteur :ref:`EPSI_IMPOSE`. On effectue également un deuxième test identique en changeant les unités de longueur et de contrainte via les opérandes :ref:`UNITE_LONGUEUR` = 'MM' et :ref:`UNITE_CONTRAINTE` = 'MPa' du mot-clé :ref:`VISC_ISOT_PLAS_FO` dans la macro-commande :ref:`DEFI_MATERIAU`. Ainsi, on utilise aussi ce test pour vérifier que la relation de comportement :ref:`VISC_ISOT_PLAS` fonctionne dans le cas non-scalaire en définissant les paramètres matériaux avec la macro-commande :ref:`DEFI_CONSTANTE` et en adaptant les valeurs aux nouvelles unités (millimètre et MégaPascal). Pour les deux tests, les :math:`1001` valeurs de référence obtenues pour la contrainte et la déformation totale (paramètres nommés respectivement 'SIXX' et 'EPXX' dans la table retournée par :ref:`SIMU_POINT_MAT`) seront comparées avec celles calculées précédemment (:math:`\sigma_{ref}` et :math:`\varepsilon_{ref}^{tot}`), ainsi qu'avec des valeurs de non-regression stockées en dur explicitement dans une liste python du fichier *comp004.comm* associé au test. Incertitudes sur la solution ---------------------------- Les résultats de référence sont obtenus de manière très précise et le pas de temps est choisi très fin. À la fois pour la déformation totale et la contrainte, on tolère :math:`10^{-10}` sur l'écart relatif entre les valeurs de non-regression et celles calculées par le test. Pour la déformation totale, on tolère également :math:`10^{-10}` entre les valeurs de référence et celles calculées par le test. Quant à la contrainte, on tolère :math:`10^{-7}` entre les valeurs de référence et celle calculées par le test sauf pour quelques instants où le critère est un peu relaché et correspond à la transition entre le régime élastique et (visco-)plastique : .. csv-table:: "Instant", ":ref:`PRECISION` (pour 'SIXX')" ":math:`0.000`", ":math:`1.0\text{e-}7`" ":math:`0.001`", ":math:`1.0\text{e-}7`" ":math:`0.002`", ":math:`1.0\text{e-}7`" ":math:`0.003`", ":math:`4.41\text{e-}2`" ":math:`0.004`", ":math:`5.35\text{e-}3`" ":math:`0.005`", ":math:`6.06\text{e-}4`" ":math:`0.006`", ":math:`6.72\text{e-}5`" ":math:`0.007`", ":math:`7.20\text{e-}6`" ":math:`0.008`", ":math:`7.06\text{e-}7`" ":math:`0.009`", ":math:`1.0\text{e-}7`" ":math:`0.010`", ":math:`1.0\text{e-}7`" ":math:`\ldots`", ":math:`1.0\text{e-}7`" Références bibliographiques --------------------------- Néant