Modélisation B ============== Caractéristiques de la modélisation ----------------------------------- Flexion pure alternée. .. image:: images/10000000000001A9000001269D6B8497D226D3CE.png :width: 3.0992in :height: 1.9035in .. _RefImage_10000000000001A9000001269D6B8497D226D3CE.png: Figure 4.1-a: maillage et conditions aux limites Modélisation: DKTG Conditions aux limites: * :math:`\mathrm{DRY}=0.0` sur l’arête :math:`{A}_{1}-{A}_{3}` * :math:`\mathrm{DRY}={R}_{0}\times f(t)` sur l’arête :math:`{A}_{2}-{A}_{4}` , où :math:`{R}_{0}=6\times {10}^{-3}` et :math:`f(t)` est l’amplitude du chargement cyclique en fonction du paramètre (de pseudo-temps) :math:`t` , Pour bien vérifier le modèle, on considère trois fonctions de chargements comme: +----------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ | | | | | | | .. image:: images/10000000000001F8000001201AA96929C8D1ABF2.png | .. image:: images/10000000000001F800000120F7A19CE7F7EAE366.png | | :width: 3.3681in | :width: 3.3681in | | :height: 1.9244in | :height: 1.9244in | | | | | | | | .. _RefImage_10000000000001F8000001201AA96929C8D1ABF2.png: | .. _RefImage_10000000000001F800000120F7A19CE7F7EAE366.png: | | | | | Figure 4.1-b: Flexion négative, puis flexion positive | Figure 4.1-c: Flexion positive, puis flexion négative | +----------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ .. image:: images/10000000000001FB00000120D2C7311DCD9F963A.png :width: 3.3437in :height: 1.8992in .. _RefImage_10000000000001FB00000120D2C7311DCD9F963A.png: Figure 4.1-d: Deux cycles de flexion alternée Note: la déformation extrémale des aciers est: :math:`2.4\times {10}^{-3}` , soit en-deçà du passage en plasticité des aciers. Incrément d’intégration: :math:`0.05s` . Caractéristiques du maillage ---------------------------- Nombre de nœuds: 9. Nombre de mailles: 8 TRIA3. Solution analytique simple -------------------------- En plus du calcul de référence, on fait un calcul analytique très simple pour vérifier le modèle ainsi que le code. Pour ce faire, on considère une poutre homogène dont les propriétés des matériaux sont les mêmes que celles de la plaque homogène. On impose les mêmes conditions aux limites sur la poutre. Puis en considérant la loi de comportement considérée (élastique endommageable en traction et élastique linéaire en compression), on calcule la force MY correspondante à DRY imposé. Grandeurs testées et résultats pour la fonction de chargement f1 ---------------------------------------------------------------- On compare les moments moyens selon l'axe :math:`\mathrm{Oy}` et les rotations moyennes selon l'axe :math:`\mathrm{Ox}` en :math:`\mathrm{A2}-\mathrm{A4}` obtenus par la modélisation multi-couches (référence) et par celle reposant sur le modèle GLRC_DM, en terme de différences relatives ; certaines tolérances sont prises en valeur absolue, d'autres en valeurs relatives (à partir d'une valeur de non-régression, elles sont alors notées «R»), sur ces différences relatives: .. csv-table:: "**Identification**", "**Type de référence**", "**Valeur de référence**", "**Tolérance**" "FLEXION NEG - PHASE CHAR. ELAS. :math:`t=0,25`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "5 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "NON_REGRESSION", "5.17840782 10-3", "1 10-6" "FLEXION NEG - PHASE CHAR. ENDO. :math:`t=1,0`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "7 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "NON_REGRESSION", "0.1490673", "1 10-6" "FLEXION NEG - PHASE DECHAR. ELAS. :math:`t=1,5`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "7 10-2" "*Différence relative des rotations DRX*", "NON_REGRESSION", "0.1490673", "1 10-6" "FLEXION POS. - PHASE CHAR. ELAS. :math:`t=2,25`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "5 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "NON_REGRESSION", "0.2755444", "1 10-6" "FLEXION POS. - PHASE CHAR. ENDO. :math:`t=3,0`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "7 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "NON_REGRESSION", "0.62151906", "1 10-6" "FLEXION POS. - PHASE DECHAR. ELAS. :math:`t=3,5`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "7 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "NON_REGRESSION", "0.62151905", "1 10-6" **Diagrammes comparés moment/rotation en flexion cyclique pour le chargement** :math:`\mathrm{f1}` **:** .. image:: images/1000000000000201000001208C7AE015716E52BB.png :width: 5.3445in :height: 3.0008in .. _RefImage_1000000000000201000001208C7AE015716E52BB.png: recharge (flexion opposée) **Diagrammes comparés** **rotation** :math:`\mathrm{DRX}` **(due à l’effet de Poisson) en fonction du tempspour le chargement** :math:`\mathrm{f1}` **:** .. image:: images/100000000000020100000120CCCC3474420FFC71.png :width: 5.3445in :height: 3.0008in .. _RefImage_100000000000020100000120CCCC3474420FFC71.png: recharge (flexion opposée) décharge **Diagrammes** de l’évolution de l’endommagement du modèle GLRC_DM (:math:`{d}_{1}` pour la face supérieure et :math:`{d}_{2}` pour la face inférieure) en fonction du temps: .. image:: images/1000000000000201000001204FEC01A4C6821504.png :width: 5.3445in :height: 3.0008in .. _RefImage_1000000000000201000001204FEC01A4C6821504.png: Grandeurs testées et résultats pour la fonction de chargement f2 ---------------------------------------------------------------- On compare les moments moyens selon l'axe :math:`\mathrm{Oy}` et les rotations moyennes selon l'axe :math:`\mathrm{Ox}` *en* :math:`\mathrm{A2}-\mathrm{A4}` obtenus par la modélisation multi-couches (référence) et par celle reposant sur le modèle GLRC_DM, en terme de différences relatives; certaines tolérances sont prises en valeur absolue, d'autres en valeurs relatives (à partir d'une valeur de non-régression, elles sont alors notées «R»), sur ces différences relatives: .. csv-table:: "**Identification**", "**Type de référence**", "**Valeur de référence**", "**Tolérance**" "FLEXION NEG. - PHASE CHAR. ELAS. :math:`t=0,25`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "5 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "AUTRE_ASTER", "0", "5 10-2" "FLEXION NEG. - PHASE CHAR. ENDO. :math:`t=1,0`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "7 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "AUTRE_ASTER", "0", "1.5 10-1" "FLEXION NEG. - PHASE DECHAR. ELAS. :math:`t=1,5`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "7 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "AUTRE_ASTER", "0", "1.5 10-1" "FLEXION POS. - PHASE CHAR. ELAS. :math:`t=2,25`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "5 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "NON_REGRESSION", "0.2755444", "1 10-6" "FLEXION POS. - PHASE CHAR. ENDO. :math:`t=3,0`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "7 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "NON_REGRESSION", "0.6215190", "1 10-6" "FLEXION POS. - PHASE DECHAR. ELAS. :math:`t=3,5`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "7 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "NON_REGRESSION", "0.6215190", "1 10-6" On vérifie bien que ces résultats sont identiques à ceux obtenus avec le chargement :math:`\mathrm{f1}` (en sens opposé). Grandeurs testées et résultats pour la fonction de chargement f3 ---------------------------------------------------------------- On compare les moments moyens selon l'axe :math:`\mathrm{Oy}` et les rotations moyennes selon l'axe :math:`\mathrm{Ox}` *en* :math:`\mathrm{A2}-\mathrm{A4}` obtenus par la modélisation multi-couches (référence) et par celle reposant sur le modèle GLRC_DM, en terme de différences relatives: .. csv-table:: "**Identification**", "**Type de référence**", "**Valeur de référence**", "**Tolérance**" "FLEXION NEG. - PHASE CHAR. ELAS. :math:`t=4,25`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "8 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "AUTRE_ASTER", "0", "5 10-2" "FLEXION NEG. - PHASE CHAR. ENDO. :math:`t=5,0`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "8 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "AUTRE_ASTER", "0", "1.5 10-1" "FLEXION NEG. - PHASE DECHAR. ELAS. :math:`t=1,5`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "8 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "AUTRE_ASTER", "0", "1.5 10-1" "FLEXION POS. - PHASE CHAR. ELAS. :math:`t=2,25`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "8 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "NON_REGRESSION", "0.2755444", "1 10-6" "FLEXION POS. - PHASE CHAR. ENDO. :math:`t=3,0`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "8 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathrm{DRX}`", "NON_REGRESSION", "0.621519060", "1 10-6" "FLEXION POS. - PHASE DECHAR. ELAS. :math:`t=3,5`", "", "", "" "*Différence relative des moments* :math:`{M}_{yy}`", "AUTRE_ASTER", "0", "8 10-2" "*Différence relative des rotations* :math:`\mathit{DRX}`", "NON_REGRESSION", "0.621519050", "1 10-6" **Diagrammes comparés moment/rotation en flexion cyclique pour le chargement** :math:`\mathit{f3}` **:** .. image:: images/10000000000002010000012012B6D485B4155D2D.png :width: 5.3445in :height: 3.0008in .. _RefImage_10000000000002010000012012B6D485B4155D2D.png: **Diagrammes comparés** **rotation** :math:`\mathit{DRX}` **(due à l’effet de Poisson) en fonction du tempspour le chargement** :math:`\mathit{f3}` **:** .. image:: images/1000000000000201000001200F23A9927C07B293.png :width: 5.3445in :height: 3.0008in .. _RefImage_1000000000000201000001200F23A9927C07B293.png: **Diagrammes** de l’évolution de l’endommagement du modèle GLRC_DM (:math:`{d}_{1}` pour la face supérieure et :math:`{d}_{2}` pour la face inférieure) en fonction du temps: .. image:: images/100000000000020100000120465F893310BC6594.png :width: 5.3445in :height: 3.0008in .. _RefImage_100000000000020100000120465F893310BC6594.png: On constate que le second cycle de flexion alternée ne provoque pas de nouvel endommagement, comme attendu. Remarques --------- En considération des courbes précédentes, on trouve qu’avec un recalage précis des paramètres du modèle GLRC_DM, les résultats du modèle GLRC_DMsont très proches de ceux du calcul de référence. Cela veut dire que le modèle GLRC_DMpeut bien représenter le comportement des dalles en béton armé en flexion pure alternée. Il faut noter qu’au niveau de la rotation suivant :math:`X` (due à l’effet de Poisson), après apparition de l’endommagement, la différence entre les deux modèles apparaît nettement au détriment de la réponse fournie par le modèle GLRC_DM (basé sur l’hypothèse du matériau équivalent isotrope, voir [:external:ref:`R7.01.32 `]).