Solution de référence
=====================

Soit :math:`\Omega =[-5,+5]\times [-5,+5]` le domaine occupé par le solide, dans le plan :math:`(X,Y)` . Le domaine :math:`\Omega ` est partitionné en :math:`\Omega ={\Omega}_{1}\cup {\Omega}_{2}\cup {\Omega}_{3}\cup {\Omega}_{4.}` , où on a posé:

:math:`\begin{array}{c}{\Omega}_{1}=\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[,\\ {\Omega}_{2}=\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right],\\ {\Omega}_{3}=\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[,\\ {\Omega}_{4}=\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[.\end{array}`


Cas sans contact
----------------

Sans contact, chaque zone doit subir un mouvement de corps rigide correspondant à la condition limite imposée sur son bord (droit ou gauche).

L'énergie de la structure est donc:

:math:`{E}^{e}=0.`

Le champ de déplacement solution analytique est:

:math:`u={u}_{x}(x,y){e}_{x},`

avec:

:math:`{u}_{x}(x,y)=\lbrace \begin{array}{c}-\frac{1}{4}\text{pour}(x,y)\in \left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[,\\ -\frac{1}{2}\text{pour}(x,y)\in \left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right],\\ +\frac{3}{4}\text{pour}(x,y)\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[,\\ +1\text{pour}(x,y)\in \left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[,\end{array}`

La norme :math:`{L}^{2}` du déplacement est définie par:

:math:`{\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}^{2}={\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega .`

On a donc:

:math:`{\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}^{2}=\frac{1}{16}\left|{\Omega}_{1}\right|+\frac{1}{4}\left|{\Omega}_{2}\right|+\frac{9}{16}\left|{\Omega}_{3}\right|+\left|{\Omega}_{4}\right|.`

On a:

:math:`\begin{array}{c}\left|{\Omega}_{1}\right|=20{\text{m}}^{2}\\ \left|{\Omega}_{2}\right|=30{\text{m}}^{2}\\ \left|{\Omega}_{3}\right|=20{\text{m}}^{2}\\ \left|{\Omega}_{4}\right|=30{\text{m}}^{2}\end{array}`

D'où:

:math:`{\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}^{2}=\frac{1}{16}20+\frac{1}{4}30+\frac{9}{16}20+30=50.`

Soit:

:math:`{\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}=\sqrt{50}\approx 7,071067812{\text{m}}^{2}.`


Cas avec contact
----------------

Soit:

:math:`{p}_{x}(y)=\lbrace \begin{array}{c}1\text{MPa pour}y\in \left[-5,-2\right[\\ 2\text{MPa pour}y\in \left[-2,+2\right[\\ 3\text{MPa pour}y\in \left]+2,+5\right]\end{array}\text{et}{p}_{y}=1\text{MPa}.`

On a donc par définition:


.. _RefEquation 2.2-1:

:math:`\begin{array}{c}{p}_{x}(y)=2\text{, dans}{\Omega}_{1}\cup {\Omega}_{3,}\\ {p}_{x}(y)=3\text{, dans}{\Omega}_{2,}\\ {p}_{x}(y)=1\text{, dans}{\Omega}_{4.}\end{array}` éq 2.2-1


Cas des déformations planes
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Le tenseur des contraintes solution analytique est:

:math:`\sigma =-{p}_{x}(y){e}_{x}\otimes {e}_{x}-{p}_{y}{e}_{y}\otimes {e}_{y}-\nu ({p}_{x}(y)+{p}_{y}){e}_{z}\otimes {e}_{z}`

On a:

:math:`\mathit{tr}(\sigma )=-(1+\nu )({p}_{x}(y)+{p}_{y}).`

Le tenseur des déformations est obtenu en appliquant la loi de Hooke:

:math:`\epsilon =\frac{1+\nu }{E}\sigma -\frac{\nu}{E}\mathit{tr}(\sigma )I,`

où :math:`I` est le tenseur identité.

On a donc:

:math:`\begin{array}{c}\epsilon =-\left(\frac{(1+\nu )(1-\nu ){p}_{x}(y)}{E}-\frac{\nu (1+\nu ){p}_{y}}{E}\right){e}_{x}\otimes {e}_{x}\\ -\left(\frac{(1+\nu )(1-\nu ){p}_{y}}{E}-\frac{\nu (1+\nu ){p}_{x}(y)}{E}\right){e}_{y}\otimes {e}_{y}\end{array}`

On a donc:

:math:`\sigma :\epsilon =\frac{(1+\nu )(1-\nu )}{E}{\left({p}_{x}(y)\right)}^{2}-2\frac{\nu (1+\nu )}{E}{p}_{x}(y){p}_{y}+\frac{(1+\nu )(1-\nu )}{E}{{p}_{y}}^{2}.`

D'où:

:math:`{E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1+\nu }{E}{\int}_{\Omega}\left[(1-\nu ){\left({p}_{x}(y)\right)}^{2}-2\nu {p}_{x}(y){p}_{y}+(1-\nu ){{p}_{y}}^{2}\right]d\Omega `

On a donc d'après l'équation 2.2-1:

:math:`\begin{array}{c}{E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1+\nu }{E}[{\int}_{{\Omega}_{1}\cup {\Omega}_{3}}\left[4(1-\nu )-4\nu +(1-\nu )\right]d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{2}}\left[9(1-\nu )-6\nu +(1-\nu )\right]d\Omega \\ +{\int}_{{\Omega}_{4}}\left[(1-\nu )-2\nu +(1-\nu )\right]d\Omega ].\end{array}`

Soit:

:math:`{E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1+\nu }{E}\left[\left(5-9\nu \right)\left(\left|{\Omega}_{1}\right|+\left|{\Omega}_{3}\right|\right)+\left(10-16\nu \right)\left|{\Omega}_{2}\right|+\left(2-4\nu \right)\left|{\Omega}_{4}\right|\right].`

On a donc:

:math:`{E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1+\nu }{E}\left[40\left(5-9\nu \right)+30\left(10-16\nu \right)+30\left(2-4\nu \right)\left|{\Omega}_{4}\right|\right].`

Et finalement:

:math:`{E}^{e}=\frac{40(1+\nu )(7-12\nu )}{E}=1,768\text{MJ}\times {\text{m}}^{-1}.`

Le champ de déplacement analytique :math:`u={u}_{x}{e}_{x}+{u}_{y}{e}_{y}` s'obtient en intégrant les déformations:

:math:`\begin{array}{c}{u}_{x}={\int}_{-5}^{x}{\epsilon}_{xx}\mathit{dx},\\ {u}_{y}={\int}_{-5}^{y}{\epsilon}_{yy}\mathit{dy},\end{array}`

car les conditions limites appliquées sont :math:`{u}_{x}(x=-5)=0` et :math:`{u}_{y}(y=-5)=0` .

Il est à noter que le tenseur des déformations est discontinu. On a en effet:

:math:`\epsilon =\lbrace \begin{array}{c}-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{(1+\nu )(3-4\nu )}{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{(1+\nu )(1-4\nu )}{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ -\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array}`

On remarque que le champ de déformations est discontinu au travers des droites d'équation :math:`y=-2` et :math:`y=+2` . Il est donc nécessaire de distinguer les cas selon le domainesur lequel onintègre pour expliciter la valeur des intégrales.

On a ainsi:

:math:`{u}_{x}=\lbrace \begin{array}{c}{\int}_{-5}^{x}\left[-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ {\int}_{-5}^{x}\left[-\frac{(1+\nu )(3-4\nu )}{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ {\int}_{-5}^{0}\left[-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}\right]\mathit{dx}+{\int}_{0}^{x}\left[-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ {\int}_{-5}^{0}\left[-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array},`

et

:math:`{u}_{y}=\lbrace \begin{array}{c}{\int}_{-5}^{-2}\left[-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{-2}^{y}\left[-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ \begin{array}{c}{\int}_{-5}^{-2}\left[-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{-2}^{+2}\left[-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}\right]\mathit{dy}\\ +{\int}_{+2}^{y}\left[-\frac{(1+\nu )(1-4\nu )}{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\end{array}\\ {\int}_{-5}^{-2}\left[-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{-2}^{y}\left[-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ {\int}_{-5}^{y}\left[-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array}.`

Soit:

:math:`{u}_{x}=\lbrace \begin{array}{c}-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}x-5\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{(1+\nu )(3-4\nu )}{E}x-5\frac{(1+\nu )(3-4\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ -\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}x-5\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}x-5\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array},` éq 2.2-2

et:

:math:`{u}_{y}=\lbrace \begin{array}{c}-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}y-\frac{(1+\nu )(5-12\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{(1+\nu )(1-4\nu )}{E}y-5\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ -\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}y-\frac{(1+\nu )(5-12\nu )}{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}y-5\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array}.` éq 2.2-3

Il est à noter que le champ de déplacement n'est pas continu. Le champ étant solution d'un problème de contact, la partie normale aux interfaces du déplacement est continue et on a:

:math:`{u}_{y}(y=-{2}^{-})={u}_{y}(y=-{2}^{+})=-3\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E},`

et:

:math:`{u}_{y}(y=+{2}^{-})={u}_{y}(y=+{2}^{+})=-\frac{(1+\nu )(7-18\nu )}{E}.`

On a également:

:math:`{u}_{x}(x={0}^{-})={u}_{x}(x={0}^{+})=-5\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}\text{, pour}y\in \left]-2,+2\right[.`

En revanche, la partie tangentielle du déplacement peut être discontinue et on a:

:math:`{u}_{x}(y=-{2}^{+})-{u}_{x}(y=-{2}^{-})=-\frac{(x+5)(1+\nu )(1-\nu )}{E}\text{, pour}x\in \left[-5,0\right[,`

et:

:math:`{u}_{x}(y=+{2}^{+})-{u}_{x}(y=+{2}^{-})=-\frac{(x+5)(1+\nu )(1-\nu )}{E}\text{, pour}x\in \left[-5,0\right[,`

alors que:

:math:`{u}_{y}(x={0}^{+})-{u}_{y}(x={0}^{-})=0\text{, pour}y\in \left]-2,+2\right[.`

Le calcul de l'intégrale du carré de la norme du déplacement doit donc encore une fois utiliser une partition du domaine conforme aux interfaces d'équation :math:`y=-2` et :math:`y=+2` .

On a donc:

:math:`{\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega ={\int}_{{\Omega}_{1}\cup {\Omega}_{3}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{2}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{4}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega .`

On a finalement:

:math:`{\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega =\frac{20\left(8436{\nu}^{4}+7587{\nu}^{3}-7334{\nu}^{2}-3685\nu +2800\right)}{3{E}^{2}}.`

D'où:

:math:`{\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}=\frac{1}{E}\sqrt{\frac{20\left(8436{\nu}^{4}+7587{\nu}^{3}-7334{\nu}^{2}-3685\nu +2800\right)}{3}}\approx 0,933673961652{\text{m}}^{2}.`


Cas des contraintes planes
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Le tenseur des contraintes solution analytique est:


.. _RefEquation 2.2-4:

:math:`\sigma =-{p}_{x}(y){e}_{x}\otimes {e}_{x}-{p}_{y}{e}_{y}\otimes {e}_{y}` éq 2.2-4

On a:

:math:`\mathit{tr}(\sigma )=-({p}_{x}(y)+{p}_{y}).`

Le tenseur des déformations est obtenu en appliquant la loi de Hooke et on a:

:math:`\begin{array}{c}\epsilon =\left[-\frac{1+\nu }{E}{p}_{x}(y)+\frac{\nu}{E}({p}_{x}(y)+{p}_{y})\right]{e}_{x}\otimes {e}_{x}+\left[-\frac{1+\nu }{E}{p}_{y}+\frac{\nu}{E}({p}_{x}(y)+{p}_{y})\right]{e}_{y}\otimes {e}_{y}\\ +\frac{\nu}{E}({p}_{x}(y)+{p}_{y}){e}_{z}\otimes {e}_{z}\end{array}`

Et finalement:

:math:`\epsilon =-\left(\frac{{p}_{x}(y)}{E}-\nu \frac{{p}_{y}}{E}\right){e}_{x}\otimes {e}_{x}-\left(\frac{{p}_{y}}{E}-\nu \frac{{p}_{x}(y)}{E}\right){e}_{y}\otimes {e}_{y}+\frac{\nu}{E}\left({p}_{x}(y)+{p}_{y}\right){e}_{z}\otimes {e}_{z}`

L'énergie de la structure est:

:math:`{E}^{e}=\frac{1}{2}{\int}_{\Omega}\sigma :\epsilon d\Omega `

On a:

:math:`\sigma :\epsilon ={p}_{x}(y)\left(\frac{{p}_{x}(y)}{E}-\nu \frac{{p}_{y}}{E}\right)+{p}_{y}(x)\left(\frac{{p}_{y}}{E}-\nu \frac{{p}_{x}(y)}{E}\right)`

Soit:

:math:`\sigma :\epsilon =\frac{{({p}_{x}(y))}^{2}}{E}-2\nu \frac{{p}_{x}(y){p}_{y}}{E}+\frac{{{p}_{y}}^{2}}{E}`

On a donc:

:math:`{E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1}{E}{\int}_{\Omega}\left[{({p}_{x}(y))}^{2}-2\nu {p}_{x}(y){p}_{y}+{{p}_{y}}^{2}\right]d\Omega `

D'où d'après l'équation 2.2-1:

:math:`{E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1}{E}\left[{\int}_{{\Omega}_{1}\cup {\Omega}_{3}}\left(4-4\nu +1\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{2}}\left(9-6\nu +1\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{4}}\left(1-2\nu +1\right)d\Omega \right].`

Soit:

:math:`{E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1}{E}\left[(5-4\nu )\left(\left|{\Omega}_{1}\right|+\left|{\Omega}_{3}\right|\right)+(10-6\nu )\left|{\Omega}_{2}\right|+(2-2\nu )\left|{\Omega}_{4}\right|\right].`

On a donc:

:math:`{E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1}{E}\left[40(5-4\nu )+30(10-6\nu )+30(2-2\nu )\right].`

Et finalement:


.. _RefEquation 2.2-5:

:math:`{E}^{e}=\frac{1}{E}40(7-5\nu )=2,2\text{MJ}\times {\text{m}}^{-1}.` éq 2.2-5

Le champ de déplacement analytique :math:`u={u}_{x}{e}_{x}+{u}_{y}{e}_{y}` s'obtient en intégrant les déformations:

:math:`\begin{array}{c}{u}_{x}={\int}_{-5}^{x}{\epsilon}_{xx}\mathit{dx},\\ {u}_{y}={\int}_{-5}^{y}{\epsilon}_{yy}\mathit{dy},\end{array}`

car les conditions limites appliquées sont :math:`{u}_{x}(x=-5)=0` et :math:`{u}_{y}(y=-5)=0` .

Il est à noter que le tenseur des déformations est discontinu. On a en effet:

:math:`\epsilon =\lbrace \begin{array}{c}-\frac{2-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-2\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+3\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{3-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-3\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+4\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ -\frac{2-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-2\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+3\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{1-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+2\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array}.` éq 2.2-6

On remarque que le champ de déformations est discontinu au travers des droites d'équation :math:`y=-2` et :math:`y=+2` . Il est donc nécessaire de distinguer les cas selon le domainesur lequel onintègre pour expliciter la valeur des intégrales.

On a ainsi:

:math:`{u}_{x}=\lbrace \begin{array}{c}{\int}_{-5}^{x}\left[-\frac{2-\nu }{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ {\int}_{-5}^{x}\left[-\frac{3-\nu }{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ {\int}_{-5}^{0}\left[-\frac{2-\nu }{E}\right]\mathit{dx}+{\int}_{0}^{x}\left[-\frac{2-\nu }{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ {\int}_{-5}^{0}\left[-\frac{1-\nu }{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array},`

et

:math:`{u}_{y}=\lbrace \begin{array}{c}{\int}_{-5}^{-2}\left[-\frac{1-\nu }{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{-2}^{y}\left[-\frac{1-2\nu }{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ {\int}_{-5}^{-2}\left[-\frac{1-\nu }{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{-2}^{+2}\left[-\frac{1-2\nu }{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{+2}^{y}\left[-\frac{1-3\nu }{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ {\int}_{-5}^{-2}\left[-\frac{1-\nu }{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{-2}^{y}\left[-\frac{1-2\nu }{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ {\int}_{-5}^{y}\left[-\frac{1-\nu }{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array}.`

Soit:

:math:`{u}_{x}=\lbrace \begin{array}{c}-\frac{2-\nu }{E}x-5\frac{2-\nu }{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{3-\nu }{E}x-5\frac{3-\nu }{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ -\frac{2-\nu }{E}x-5\frac{2-\nu }{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{1-\nu }{E}x-5\frac{1-\nu }{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array},` éq 2.2-7

et:

:math:`{u}_{y}=\lbrace \begin{array}{c}-\frac{1-2\nu }{E}y-\frac{5-7\nu }{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{1-3\nu }{E}y-5\frac{1-\nu }{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ -\frac{1-2\nu }{E}y-\frac{5-7\nu }{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{1-\nu }{E}y-5\frac{1-\nu }{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array}.` éq 2.2-8

Il est à noter que le champ de déplacement n'est pas continu. Le champ étant solution d'un problème de contact, la partie normale aux interfaces du déplacement est continue et on a:

:math:`{u}_{y}(y=-{2}^{-})={u}_{y}(y=-{2}^{+})=-3\frac{1-\nu }{E},`

et:

:math:`{u}_{y}(y=+{2}^{-})={u}_{y}(y=+{2}^{+})=-\frac{7-11\nu }{E}.`

On a également:

:math:`{u}_{x}(x={0}^{-})={u}_{x}(x={0}^{+})=-5\frac{2-\nu }{E}\text{, pour}y\in \left]-2,+2\right[.`

En revanche, la partie tangentielle du déplacement peut être discontinue et on a:

:math:`{u}_{x}(y=-{2}^{+})-{u}_{x}(y=-{2}^{-})=-\frac{x+5}{E}\text{, pour}x\in \left[-5,0\right[,`

et:

:math:`{u}_{x}(y=+{2}^{+})-{u}_{x}(y=+{2}^{-})=-\frac{x+5}{E}\text{, pour}x\in \left[-5,0\right[,`

alors que:

:math:`{u}_{y}(x={0}^{+})-{u}_{y}(x={0}^{-})=0\text{, pour}y\in \left]-2,+2\right[.`

Le calcul de l'intégrale du carré de la norme du déplacement doit donc encore une fois utiliser une partition du domaine conforme aux interfaces d'équation :math:`y=-2` et :math:`y=+2` .

On a donc:

:math:`{\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega ={\int}_{{\Omega}_{1}\cup {\Omega}_{3}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{2}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{4}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega .`

On a finalement:

:math:`{\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega =\frac{20\left(1951{\nu}^{2}-3685\nu +2800\right)}{3{E}^{2}}.`

D'où:

:math:`{\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}=\frac{1}{E}\sqrt{\frac{20\left(1951{\nu}^{2}-3685\nu +2800\right)}{3}}\approx 1,11656914997{\text{m}}^{2}.`


Cas 3D
~~~~~~

La structure occupe le domaine :math:`{\Omega}_{3D}=\Omega \times [0,1]` . Les conditions aux limites du cas 3D sont les mêmes que celles des cas 2D dans le plan :math:`(X,Y),` une condition de rouleau est imposée en :math:`Z=0` et le bord :math:`Z=1` est libre de contraintes. Le tenseur des contraintes solution analytique est donc identique au cas des contraintes planes ( *cf.* éq 2.2-4):

:math:`\sigma =-{p}_{x}(y){e}_{x}\otimes {e}_{x}-{p}_{y}{e}_{y}\otimes {e}_{y}`


.. _RefEquation 2.2-5)::

La densité d'énergie élastique est donc identique à celle du cas 3D. Le solide est d'épaisseur unitaire dans la direction :math:`Z` . L'expression de l'énergie de la structure est donc identique au cas des contraintes planes, mais les unités sont modifiées. On a alors ( *cf.* éq 2.2-5):

:math:`{E}^{e}=\frac{1}{E}40(7-5\nu )=2,2\text{MJ}\times {\text{m}}^{-1}.`

Le champ de déplacement analytique :math:`u={u}_{x}{e}_{x}+{u}_{y}{e}_{y}+{u}_{z}{e}_{z}` s'obtient en intégrant les déformations:

:math:`\begin{array}{c}{u}_{x}={\int}_{-5}^{x}{\epsilon}_{xx}\mathit{dx},\\ {u}_{y}={\int}_{-5}^{y}{\epsilon}_{yy}\mathit{dy},\\ {u}_{z}={\int}_{0}^{z}{\epsilon}_{zz}\mathit{dz},\end{array}`

car les conditions limites appliquées sont :math:`{u}_{x}(x=-5)=0` , :math:`{u}_{y}(y=-5)=0` et :math:`{u}_{z}(z=0)=0` .


.. _RefEquation 2.2-6)::

Il est à noter que le tenseur des déformations est discontinu. On a en effet ( *cf.* éq 2.2-6):

:math:`\epsilon =\lbrace \begin{array}{c}-\frac{2-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-2\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+3\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\times [0,1]\\ -\frac{3-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-3\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+4\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\times [0,1]\\ -\frac{2-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-2\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+3\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\times [0,1]\\ -\frac{1-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+2\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\times [0,1]\end{array}.`


.. _RefEquationuation :math:`y=-2` et :math:`y=+2` . Il est donc nécessaire de distinguer les cas selon le domaine sur lequel on intègre pour expliciter la valeur des intégrales. Les expressions des composantes :math:`{u}_{x}` et :math:`{u}_{y}` sont identiques au cas des contraintes planes ( *cf.* éq 2.2-7et 2.2-8) et on a pour :math:`{u}_{z}` ::

On remarque que le champ de déformations est discontinu au travers des droites d'équation :math:`y=-2` et :math:`y=+2` . Il est donc nécessaire de distinguer les cas selon le domaine sur lequel on intègre pour expliciter la valeur des intégrales. Les expressions des composantes :math:`{u}_{x}` et :math:`{u}_{y}` sont identiques au cas des contraintes planes ( *cf.* éq 2.2-7et 2.2-8) et on a pour :math:`{u}_{z}` :

:math:`{u}_{z}=\lbrace \begin{array}{c}{\int}_{0}^{1}\frac{3\nu }{E}\mathit{dz},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\times [0,1]\\ {\int}_{0}^{1}\frac{4\nu }{E}\mathit{dz},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\times [0,1]\\ {\int}_{0}^{1}\frac{3\nu }{E}\mathit{dz},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\times [0,1]\\ {\int}_{0}^{1}\frac{2\nu }{E}\mathit{dz},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\times [0,1]\end{array}.`

Soit:

:math:`{u}_{z}=\lbrace \begin{array}{c}\frac{3\nu }{E}z,\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\times [0,1]\\ \frac{4\nu }{E}z,\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\times [0,1]\\ \frac{3\nu }{E}z,\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\times [0,1]\\ \frac{2\nu }{E}z,\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\times [0,1]\end{array}.` éq 2.2-9

Le calcul de l'intégrale du carré de la norme du déplacement doit donc encore une fois utiliser une partition du domaine conforme aux interfaces d'équation :math:`y=-2` et :math:`y=+2` .

On a donc:

:math:`{\int}_{{\Omega}_{3D}}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega ={\int}_{{\Omega}_{1}\times [0,1]\cup {\Omega}_{3}\times [0,1]}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}+{u}_{z}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{2}\times [0,1]}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}+{u}_{z}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{4}\times [0,1]}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}+{u}_{z}^{2}\right)d\Omega .`

On a finalement:

:math:`{\int}_{{\Omega}_{3D}}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega =\frac{20\left(1999{\nu}^{2}-3685\nu +2800\right)}{3{E}^{2}}.`

D'où:

:math:`{\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}=\frac{1}{E}\sqrt{\frac{20\left(1999{\nu}^{2}-3685\nu +2800\right)}{3}}\approx 1,11785807089{\text{m}}^{\frac{5}{2}}.`