Solution de référence
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Méthode de calcul
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La normale à l’interface est notée :math:`n` et le vecteur tangent est noté :math:`\tau` :


.. _RefEquation 2.1-1:

:math:`n=(\begin{array}{}\cos\theta \\ \sin\theta \end{array})` ,     :math:`\tau =(\begin{array}{}-\sin\theta \\ \cos\theta \end{array})`             éq 2.1-1

avec :math:`\theta =\arctan\frac{y-11,77}{x-5}` **éq 2.1-2**

Dans cette modélisation, on considère l’hypothèse de contraintes planes (bien qu’ici, le coefficient de Poisson étant nul, il n’y a pas de différences entre contraintes et déformations planes).

La méthode du Lagrangien augmenté est utilisée pour le traitement du contact/frottement.

L'interface présente une pente qui varie d'un bout à l'autre de la plaque. Or aux endroits où l'inclinaison est la plus forte, près des bords latéraux, il risque d'y avoir glissement. Pour éviter cela, on augmente l'adhérence via le coefficient de frottement de Coulomb : on prend :math:`\mu =2` .

La valeur de la pression de contact sur l'interface est fonction de la normale :math:`n` :


.. _RefEquation .2.1-3:

:math:`\lambda =n.\sigma .n={n}_{y}{\sigma}_{yy}{n}_{y}`                 éq .2.1-3


*   où :math:`{n}_{y}` est la composante suivant :math:`y` de :math:`n`


*   où :math:`{\sigma}_{yy}` est la contrainte suivant :math:`y` dans le plan de normale :math:`{e}_{y}` dans la structure sans interface : :math:`{\sigma}_{yy}=E\frac{{u}_{y}}{{L}_{y}}`

Le semi-multiplicateur de frottement :math:`\Lambda` est défini par:


.. _RefEquation 2.1.1-4:

:math:`{r}_{\tau}=\lambda \mu \Lambda`                     éq 2.1.1-4

Avec la densité d’effort tangentiel s’écrivant comme suit:


.. _RefEquation 2.1-5:

:math:`{r}_{\tau}=(\tau .\sigma .n)\tau`                     éq 2.1-5

D’où:


.. _RefEquation 2.1-6:

:math:`\Lambda =(\frac{1}{\mu}\frac{\tau .\sigma .n}{n.\sigma .n})\tau =(\frac{1}{\mu}\frac{{\tau}_{y}}{{n}_{y}})\tau`                 éq 2.1-6

Avec les valeurs numériques précédemment introduites :

:math:`\lambda (x,y)=\frac{-1}{10}{\sin}^{2}(\arctan\frac{11,77-y}{5-x})\mathrm{Pa}` **éq 2.1-7**

:math:`\Lambda (x,y)=\Lambda .\tau =\frac{x-5}{2(y-11,77)}` **éq 2.1-8**


Grandeurs et résultats de référence
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Minimum de la pression de contact LAGS_C sur l'interface (aux points A et C): -0,1

Maximum de la pression de contact LAGS_C sur l'interface (au point B): -0,06110

Minimum de la densité d'effort tangentiel LAGS_F1 sur l'interface (au point A): 0,39894

Maximum de la densité d'effort tangentiel LAGS_F1 sur l'interface (au point B): 0


Incertitudes de la solution
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Aucune (solution analytique).