Solution de référence
=====================


Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
--------------------------------------------------------

On s’appuie sur la documentation [:ref:`R5.03.29 <R5.03.29>`] qui décrit les équations du modèle; on adopte également les notations qui y sont introduites.

Comme la trace des contraintes est nulle, les traces des déformations élastique, plastique et totale sont également nulles. Et le jacobien de la transformation :math:`J` reste alors égal à 1. En notant :math:`d={q}_{1}f` et :math:`{d}_{0}={q}_{1}{f}_{0}` , on peut exprimer la contrainte équivalente de GTN:

.. math::
    :label: eq-2

    {T}_{\text{*}}=\frac{{T}_{\mathit{eq}}}{1-d}

En régime plastique, la condition de cohérence établit le lien entre la contrainte et la variable d’écrouissage:

.. math::
    :label: eq-3

    {T}_{\mathit{eq}}=(1-d)({R}_{0}+{R}_{H}\kappa )

La déformation élastique vaut, avec :math:`\mu` le module de cisaillement:

.. math::
    :label: eq-4

    {E}^{e}=\frac{{T}_{\mathit{eq}}}{2\mu }{D}^{0}

La loi d’évolution plastique se réduit à:

.. math::
    :label: eq-5

    \dot{{E}^{p}}=\frac{3}{2}\frac{\dot{\kappa}}{1-d}{D}^{0}

En particulier, la déformation plastique équivalente vaut:

.. math::
    :label: eq-6

    {\dot{E}}_{\mathit{eq}}^{p}=\frac{\dot{\kappa}}{1-d}

Et, enfin, l’évolution de la porosité s’écrit:

.. math::
    :label: eq-7

    \dot{f}=B(\kappa )\dot{\kappa}+{b}_{0}\frac{\dot{\kappa}}{1-{q}_{1}f}{\mathrm{\chi }}_{[{E}_{\mathit{eq}0}^{p};+\infty ]}({E}_{\mathit{eq}});\dot{d}={q}_{1}B(\kappa )\dot{\kappa}+{q}_{1}{b}_{0}\frac{\dot{\kappa}}{1-d}{\mathrm{\chi }}_{[{E}_{\mathit{eq}0}^{p};+\infty ]}({E}_{\mathit{eq}})

En toute généralité, l’équation différentielle ci-dessus n’admet pas de solution analytique simple. C’est pourquoi on distingue deux cas, qui correspondront aux versions A et B du cas-tests.


Cas A : :math:`{b}_{0}=0`
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Dans ce cas, la porosité s’écrit simplement:

.. math::
    :label: eq-8

    f(\kappa )={f}_{0}+\underset{0}{\overset{\kappa}{\int}}B(u)\mathit{du};d(\kappa )={d}_{0}+{q}_{1}\underset{0}{\overset{\kappa}{\int}}B(u)\mathit{du}

Et la déformation plastique est obtenue par intégration de ():

.. math::
    :label: eq-9

    {E}^{p}(\kappa )=\frac{3}{2}\underset{0}{\overset{\kappa}{\int}}\frac{\mathit{du}}{1-d(u)}{D}^{0}


Cas B : :math:`B(\kappa )=0`
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Dans ce cas, l’équation différentielle () est à variables séparables. Elle s’intègre aisément et conduit à:

.. math::
    :label: eq-10

    {\left(1-d(\kappa )\right)}^{2}={\left(1-{q}_{1}{f}_{0}\right)}^{2}-2{q}_{1}{b}_{0}⟨\kappa -{\kappa}_{0}⟩;{\kappa}_{0}={E}_{\mathit{eq}0}^{p}(1-{q}_{1}{f}_{0})

Et la déformation plastique est à nouveau obtenue via ().


Résultats de référence
----------------------

Les valeurs de :math:`\kappa` utilisées pour obtenir les résultats de référence dans les cas A et B sont choisies de sorte à rester dans le domaine d’écrouissage positif du modèle (sinon, le pilotage en contrainte n’est pas réalisable). Pour le cas-test A, on choisit :math:`\kappa =0.148` ; pour le cas-test B, :math:`\kappa =0.180` . On impose alors une contrainte croissante jusqu’à la valeur :math:`{T}_{\mathit{eq}}(\kappa )` selon ().


Incertitudes sur la solution
----------------------------

Les résultats de référence sont obtenus de manière très précise en calculant les intégrales qui apparaissent dans la solution analytique au moyen d’une méthode des trapèzes dont le pas est choisi très fin.


Références bibliographiques
---------------------------

Néant