Solution de référence
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Méthode de calcul
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Dans ce qui suit, toutes les grandeurs définies dans la configuration initiale seront écrites en majuscules. Les grandeurs définies dans la configuration déformée seront écrites en minuscules.

Pour établir la solution analytique, on considère une sphère de rayons initiaux intérieur :math:`\text{A}` et extérieur :math:`\text{B}` . Le matériau est élastoplastique à plasticité parfaite. L'écoulement plastique est normal et associé au critère de von Mises, de limite d'élasticité :math:`{\sigma}_{y}` . L'élasticité est isotrope défini par les modules de compressibilité et de cisaillement, :math:`K` et :math:`\mu` . La sphère est soumise à une pression interne :math:`P` .

Étant donnée la symétrie sphérique de la géométrie et du chargement, on cherche une solution qui présente les mêmes propriétés d'invariance ce qui exclut la recherche de solutions bifurquées. La solution ne dépend que de la distance au centre de la sphère notée :math:`R` dans la configuration initiale et :math:`r` dans la configuration déformée. Le déplacement est purement radial: :math:`\vec{u}(r)=u(r){\vec{e}}_{r}` , où :math:`({\vec{e}}_{r},{\vec{e}}_{\theta},{\vec{e}}_{\phi })` est la base orthonormée associée au système de coordonnées sphériques. On utilisera donc la définition des opérateurs :math:`\text{grad}` , :math:`div` , … adéquates. Le tenseur des contraintes s'exprime de la manière suivante:


.. math::
    :label: eq-1

    \sigma ={\sigma}_{\mathit{rr}}(r){\vec{e}}_{r}\otimes {\vec{e}}_{r}+{\sigma}_{\theta \theta }(r)({\vec{e}}_{\theta}\otimes {\vec{e}}_{\theta}{\vec{e}}_{\phi }\otimes {\vec{e}}_{\phi })

Pour ce qui concerne le déplacement, son expression dans la configuration de référence est: :math:`\vec{u}(\vec{X})=U(r){\vec{e}}_{r}` . On peut remarquer que, par définition, on a les relations:

:math:`r=R+U(R)` et :math:`u(r)=U(R)`

On en déduit la formule suivante pour les dérivées


.. math::
    :label: eq-2

    \frac{\partial U}{\partial R}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial R}=\frac{\partial u}{\partial r}\left(1+\frac{\partial U}{\partial R}\right)\Rightarrow \frac{\partial U}{\partial R}=\frac{\frac{\partial u}{\partial r}}{\left(1-\frac{\partial u}{\partial r}\right)}

On calcule le gradient de la transformation:


.. math::
    :label: eq-3

    F=\left(1+\frac{\partial U}{\partial R}\right){\vec{e}}_{r}\otimes {\vec{e}}_{r}+\left(1+\frac{U}{R}\right)({\vec{e}}_{\theta}\otimes {\vec{e}}_{\theta}{\vec{e}}_{\phi }\otimes {\vec{e}}_{\phi })

*Remarque:*

:math:`F` *admet des directions propres constantes au cours de la transformation.*

La déformation logarithmique admet alors simplement comme expression:


.. math::
    :label: eq-4

    E=\ln\left(1+\frac{\partial U}{\partial R}\right){\vec{e}}_{r}\otimes {\vec{e}}_{r}+\ln\left(1+\frac{U}{R}\right)({\vec{e}}_{\theta}\otimes {\vec{e}}_{\theta}{\vec{e}}_{\phi }\otimes {\vec{e}}_{\phi })

*Remarque:*

*Dans ce cas particulier, le taux de déformation* :math:`\dot{E}` *coïncide avec le taux de déformation Eulérien* :math:`D` *, si bien que le tenseur de contrainte* :math:`T` *associée aux déformations logarithmiques est égal au teneur de Kirchhoff* :math:`\tau` *. C'est une situation favorable pour exhiber une solution analytique.*

Dans la configuration déformée, la déformation :math:`e(\vec{x})=E(\vec{X})` s'exprime:


.. math::
    :label: eq-5

    e=-\ln\left(1-\frac{\partial u}{\partial r}\right){\vec{e}}_{r}\otimes {\vec{e}}_{r}+\left(\lnr-\ln\left(r-u\right)\right)({\vec{e}}_{\theta}\otimes {\vec{e}}_{\theta}{\vec{e}}_{\phi }\otimes {\vec{e}}_{\phi })

Il est aussi utile d'exprimer le Jacobien de la transformation et son logarithme dans la configuration déformée:


.. math::
    :label: eq-6

    j=\detF=\frac{1}{\left(1-\frac{\partial u}{\partial r}\right)}{\left(\frac{r}{r-u}\right)}^{2}

Les équations d'équilibre peuvent être elles aussi exprimées dans la configuration déformée en fonction du tenseur de Kirchhoff :math:`\tau =j\sigma` :


.. math::
    :label: eq-7

    {div}_{x}\left(\frac{\tau}{j}\right)=0\iff \frac{\partial {\tau}_{\mathit{rr}}}{\partial r}-{\tau}_{\mathit{rr}}\frac{\partial \lnj}{\partial r}+\frac{2}{r}({\tau}_{\mathit{rr}}-{\tau}_{\theta \theta })=0

De plus, on a les conditions aux limites:


.. math::
    :label: eq-8

    {\tau}_{\mathit{rr}}(b)=0

Où :math:`a` et :math:`b` sont les rayons intérieur et extérieur de la sphère déformée. Compte tenue de la symétrie sphérique, il est équivalent d'imposer une pression interne ou un déplacement radial sur la peau intérieure. On préférera piloter le calcul en déplacement, si bien que la deuxième condition aux limites est remplacée par:


.. math::
    :label: eq-9

    u(a)={U}^{\mathit{imp}}

Pour ce qui est du comportement, la partie hydrostatique est purement élastique:


.. math::
    :label: eq-10

    \text{tr}\tau =3K\text{tr}e\iff 3K\lnj={\tau}_{\mathit{rr}}+2{\tau}_{\theta \theta }

Pour la partie déviatorique, on a les relations classique de la plasticité de von Mises:


.. math::
    :label: eq-11

    {\tau}_{\mathit{eq}}\le {\sigma}_{y};\dot{p}\ge 0;\dot{p}({\tau}_{\mathit{eq}}-{\sigma}_{y})=0

.. math::
    :label: eq-12

    {\tau}^{D}=2\mu ({e}^{D}+{e}^{p})

En matière de réponse de la structure, on s'attend à un scénario dans lequel la zone plastique se développe progressivement de l'intérieur vers l'extérieur de la sphère. Lorsqu'elle atteint la paroi extérieure, tous les points de la sphère sont en régime plastique soit:


.. math::
    :label: eq-13

    {\tau}_{\mathit{eq}}={\sigma}_{y}\iff {\tau}_{\theta \theta }-{\tau}_{\mathit{rr}}={\sigma}_{y}

En outre, au moment où la paroi externe est atteinte, la déformation plastique y est encore nulle. On a donc:


.. math::
    :label: eq-14

    {e}^{D}(b)=\frac{1}{2\mu }{\tau}^{D}(b)\iff \frac{({\tau}_{\mathit{rr}}(b)-{\tau}_{\theta \theta }(b))}{2\mu }={\ln\left(\frac{1-\frac{\partial u}{\partial r}}{r-u}\right)\mid }_{b}+\lnb

Lorsque la zone plastique débouche sur la paroi externe, l'une des deux composantes du tenseur des contrainte est connue en tout point via (13). La relation d'équilibre (7) ainsi que la partie sphérique du comportement (10) permettent alors de déterminer entièrement le champ de contrainte, ainsi que le Jacobien de la transformation. En fait, contrairement au cas des petites déformations, ces deux équations sont couplées. Elles s'écrivent:


.. math::
    :label: eq-15

    \lbrace \begin{array}{c}\frac{\partial {\tau}_{\mathit{rr}}}{\partial r}-{\tau}_{\mathit{rr}}\frac{\partial \lnj}{\partial r}+\frac{2}{r}({\tau}_{\mathit{rr}}-{\tau}_{\theta \theta })=0\\ \mathrm{3K}\lnj={\tau}_{\mathit{rr}}+2{\tau}_{\theta \theta }\end{array}

En substituant la définition de :math:`\lnj` dans la première équation de (15), on obtient:


.. math::
    :label: eq-16

    \frac{\partial}{\partial r}\left({\tau}_{\mathit{rr}}-\frac{{\tau}_{\mathit{rr}}^{2}}{\mathrm{2K}}\right)=\frac{2}{r}{\sigma}_{y}

Cette équation s'intègre facilement en prenant en compte la condition aux limites (8)


.. math::
    :label: eq-17

    {\tau}_{\mathit{rr}}-\frac{{\tau}_{\mathit{rr}}^{2}}{\mathrm{2K}}=2{\sigma}_{y}\ln\left(\frac{r}{b}\right)

Le champ de contrainte peut être déduit en résolvant cette équation du second ordre. Le choix de la racine est fixée par le fait qu'il s'agit d'une contrainte de compression, donc négative. Le champ de changement de volume :math:`\lnj` s'en déduit alors au travers de (15):


.. math::
    :label: eq-18

    \lbrace \begin{array}{c}{\tau}_{\mathit{rr}}(r)=K-\sqrt{{K}^{2}-\mathrm{4K}{\sigma}_{y}\ln\left(\frac{r}{b}\right)}\\ \lnj(r)=1-\sqrt{1-4\frac{{\sigma}_{y}}{K}\ln\left(\frac{r}{b}\right)}+\frac{2{\sigma}_{y}}{\mathrm{3K}}\end{array}

Par ailleurs, la relation cinématique (6) peut se réécrire:


.. math::
    :label: eq-19

    \frac{\partial}{\partial r}\left({(r-u)}^{3}\right)=\frac{3{r}^{2}}{\exp\lnj}

En prenant en compte la définition :math:`b-u(b)=B` , on en déduit par intégration:


.. math::
    :label: eq-20

    {(r-u)}^{3}={B}^{2}-{\int}_{r}^{b}\frac{3{\rho}^{2}}{\exp\lnj(\rho )}d\rho

La primitive dans (20) devra être calculée numériquement.

On peut aussi s'appuyer sur la relation (19) pour exprimer simplement le rayon déformé en :math:`b` . En effet,, en :math:`r=b` , le changement de volume vaut:


.. math::
    :label: eq-21

    \lnj(b)=\frac{2{\sigma}_{y}}{\mathrm{3K}}

L'équation (19) s'écrit en :math:`r=b` :


.. math::
    :label: eq-22

    \left(1-\frac{\partial u}{\partial r}\right)=\frac{{b}^{2}}{{B}^{2}}\exp\left(-\frac{2{\sigma}_{y}}{\mathrm{3K}}\right)

La condition de continuité (14) permet alors de fixer le rayon de la sphère déformée car elle s'exprime encore:


.. math::
    :label: eq-23

    \left(1-\frac{\partial u}{\partial r}\right)={\left(\frac{b}{B}\right)}^{-1}\exp\left(\frac{{\sigma}_{y}}{2\mu }\right)

De (22) et (23), on déduit le rayon extérieur déformée:


.. math::
    :label: eq-24

    \frac{b}{B}=\exp\left(\frac{{\sigma}_{y}}{3}\left(\frac{1}{2\mu }+\frac{2}{\mathrm{3K}}\right)\right)

La connaissance de la déformation et de la contrainte permet de déterminer à son tour le champ de déformation plastique cumulée :math:`p` , En effet, son évolution est gouvernée par l'équation tensorielle (12). Plus précisément, il s'avère que la direction :math:`{\tau}^{D}/{\tau}_{\mathit{eq}}` est constante ce qui permet d'intégrer simplement la déformation plastique:


.. math::
    :label: eq-25

    {e}^{p}=p\left({\vec{e}}_{r}\otimes {\vec{e}}_{r}-\frac{1}{2}{\vec{e}}_{\theta}\otimes {\vec{e}}_{\theta}-\frac{1}{2}{\vec{e}}_{\phi }\otimes {\vec{e}}_{\phi }\right)

Puis en substituant cette expression dans la première équation de (12), on en déduit:


.. math::
    :label: eq-26

    p(r)=\frac{2}{3}({e}_{\theta \theta }-{e}_{\mathit{rr}})-\frac{{\sigma}_{y}}{3\mu }=\frac{2}{3}\left(\lnr-\frac{{\sigma}_{y}}{2\mu }+\ln\frac{1-\frac{\partial u}{\partial r}}{r-u}\right)

Où l'expression du champ de déplacement est dorénavant connue d'aprés (20).

Finalement, la condition aux limites intérieure permet de déterminer le niveau de chargement critique pour lequel la zone plastique atteint la paroi extérieure. En effet, le rayon intérieur défomée est donné de manière implicite par la relation (20) exprimée justement en :math:`r=a` :


.. math::
    :label: eq-27

    {\int}_{r}^{b}\frac{3{\rho}^{2}}{\exp\lnj(\rho )}d\rho ={B}^{3}-{A}^{3}


Grandeurs et résultats de référence
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Les grandeurs de référence sont la trace de la contrainte et la déformation plastique cumulée en configuration déformée pour les points de Gauss ayant le r le plus petit et le plus grand.


Incertitudes sur la solution
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La solution étant analytique, on a pas d'incertitude.


Références bibliographiques
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1.  E. LORENTZ, "Dualisation des conditions de quasi-incompressibilité", Document interne EDF R&D, 2011.