Solution de référence
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Méthode de calcul
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En 1881, Hertz a établi sous certaines hypothèses une solution au problème qui porte son nom. Ainsi en supposant un contact sans frottement et pour lequel la demi-largeur de contact :math:`a` est très petite devant le rayon des sphères :math:`R` (:math:`a\ll R` ), la pression de contact aux points :math:`\mathit{C1}` et :math:`\mathit{C2}` vaut :


.. math::
    :label: eq-None

    {P}_{0}=-\frac{E}{\pi (1-{\nu}^{2})}\sqrt{\frac{2h}{R}}

où :math:`h` correspond à l'écrasement imposé, qui vaut ici :math:`4\mathit{mm}` .

La demi-largeur de contact :math:`a` s'exprime en fonction de l'écrasement imposé et du rayon des sphères:


.. math::
    :label: eq-None

    a=\sqrt{\frac{\mathit{Rh}}{2}}

La surface de contact est un disque de rayon :math:`a` , la distribution de pression en fonction du rayon :math:`r` dans cette zone est la suivante:


.. math::
    :label: eq-None

    \textrm{Si}
    r\le a




Grandeurs et résultats de référence
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On comparera la pression obtenue au centre de la zone de contact et la demi-largeur de contact à la solution analytique ci-dessus.




Incertitudes sur la solution
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Aucune (sous les hypothèses données ci-dessus).




Références
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