Problème de référence
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Géométrie
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On considère un élément point matériel.

Propriétés du matériau
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Modèles de comportement de Hujeux et de Iwan
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Les propriétés élastiques isotropes du matériau sont :math:`E=619.33` MPa et :math:`\nu =0.3`.


Les paramètres anélastiques propres au modèle de Hujeux (modélisation A) sont :


*   :math:`n=0.4`, :math:`\beta =24`, :math:`b=0.2`, :math:`d=2.5`.
*   :math:`\varphi =33°`, :math:`\psi =33°`, :math:`{P}_{c0}=-1` MPa, :math:`{P}_{\mathit{ref}}=-1` MPa
*   :math:`{a}_{\mathit{cyc}}=1\times10^{-4}`, :math:`{a}_{\mathit{mon}}=8\times10^{-3}`
*   :math:`{c}_{\mathit{cyc}}=1\times10^{-1}`, :math:`{c}_{\mathit{mon}}=2\times10^{-1}`
*   :math:`{r}_{\mathit{ela}}^{d}=5\times10^{-3}`, :math:`{r}_{\mathit{ela}}^{i}=1\times10^{-3}`, :math:`{r}_{\mathit{ela}}^{d,c}=5\times10^{-3}`, :math:`{r}_{\mathit{ela}}^{i,c}=1\times10^{-3}`
*   :math:`{r}_{\mathit{hys}}=5\times10^{-2}` , :math:`{r}_{\mathit{mob}}=9\times10^{-1}`
*   :math:`{x}_{m}=1` , :math:`\alpha=1`

Les paramètres anélastiques du modèle d'Iwan (modélisation B) sont quant à eux :math:`\gamma_{\mathrm{ref}}=2\times10^{-4}` et :math:`n=0.78`.

 **Remarque :**

 À l'aide de l'outil *CALC_ESSAI_GEOMECA,* on est en mesure de comparer les courbes de comportement pour les deux modèles en termes de réduction du module de cisaillement sécant normalisé
 et d'amortissement réduit (cf. :numref:`v6.04.205-module_secant_normalise` et :numref:`v6.04.205-amortissement_reduit`).

.. _v6.04.205-module_secant_normalise:

.. figure:: images/100002010000032000000258B5CDD4F1675D5855.png
 :align: center
 :width: 400

 Prédictions du module de cisaillement sécant normalisé avec la distorsion par les modèles de Hujeux et d'Iwan.

.. _v6.04.205-amortissement_reduit:

.. figure:: images/1000020100000320000002589A53DF01E1E9C3F4.png
 :align: center
 :width: 400

 Prédictions de l'amortissement réduit avec la distorsion par les modèles de Hujeux et d'Iwan.

Modèle de comportement CSSM
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Les paramètres spécifiques au modèle CSSM [:ref:`r7.01.44 <R7.01.49>`] sont regroupés dans le :numref:`v6.04.160-table_parametres_CSSM` concernant la modélisation C.

.. _v6.04.160-table_parametres_CSSM:

.. list-table:: Paramètres du modèle CSSM utilisés dans la modélisation C.

 * - **Intervention**
   - **Appellation**
   - **Définition**
   - **Symbole**
   - **Valeur**
 * - Élasticité
   - | *BulkModulus*
     | *ShearModulus*
     | *ShearModulusRatio*
   - | Module de compressibilité total
     | Module de cisaillement total
     | Rapport du module de cisaillement du composant 1 sur le module de cisaillement total
   - | :math:`K`
     | :math:`\mu`
     | :math:`\rho`
   - | 516 MPa
     | 238 MPa
     | 0.1
 * - Composant 1
   - | *CritStateSlope*
     | *InitCritPress*
     | *IncoPlastIndex*
     | *IsoHardRatio*
     | *IsoHardIndex*
   - | Pente d'état critique
     | Pression critique initiale
     | Indice d'incompressibilité plastique
     | Rapport de réduction homothétique du domaine d'élasticité initial
     | Indice d'écrouissage par agrandissement homothéTique du domaine d'élasticité initial
   - | :math:`M`
     | :math:`p_{c0}`
     | :math:`\beta`
     | :math:`\eta`
     | :math:`\omega`
   - | :math:`1.38`
     | :math:`100` kPa
     | :math:`30`
     | :math:`0.99`
     | :math:`32`
 * - Composant 2
   - | *HypDistortion*
     | *HypExponent*
     | *MinCritPress*
   - | Distorsion de référence de la relation "hyperbolique modifiée"
     | Paramètre de courbure de la relation "hyperbolique modifiée"
     | Pression minimale pour laquelle l'état critique est atteignable
   - | :math:`\gamma_{\mathrm{hyp}}`
     | :math:`n_{\mathrm{hyp}}`
     | :math:`C`
   - | :math:`2.10^{-4}`
     | :math:`0.78`
     | :math:`448` kPa

Conditions aux limites et chargements
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Pour rappel, l'emploi de la commande SIMU_POINT_MAT permet d'imposer directement un champ de déformations et/ou de contraintes.

On impose une évolution nulle au cours du chargement pour les composantes suivantes des tenseurs contraintes et déformations :

*   :math:`{\mathrm{d}\sigma}_{xx}={\mathrm{d}\sigma}_{yy}={\mathrm{d}\sigma}_{zz}=0`
*   :math:`{\mathrm{d}\varepsilon}_{yz}={\mathrm{d}\varepsilon}_{zx}=0`

On impose l'évolution de la :numref:`v6.04.205-image_chargement` pour les déformations de cisaillement :math:`\varepsilon_{xy}` :

.. _v6.04.205-image_chargement:

.. figure:: images/image_chargement.png
 :align: center
 :width: 400

 Cronologie de chargement imposée pour la composante :math:`\varepsilon_{xy}` (normalisée) des déformations.


Plusieurs calculs sont effectués en variant l'amplitude de déformations suivant les valeurs :math:`\left\lbrace 2\times10^{-5},2\times10^{-4},2\times10^{-3}\right\rbrace`.


Conditions initiales
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L'état de contraintes initiales est isotrope et correspond à une pression égale à :math:`50` kPa .