Solution de référence
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Méthode de calcul
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Solution analytique pour la variable d’endommagement :math:`D` :

:math:`D(t)=1-{(1-(1+k){(\frac{{\sigma}_{0}}{A})}^{R}t)}^{\frac{1}{1+k}}`


.. image:: images/Object_2.png
    :width: 4.3646in
    :height: 2.8752in


.. _RefSchema_Object_2.png:

Solution analytique pour la variable d’écrouissage isotrope viscoplastique, :math:`r` , dans le cas d’un seuil :math:`{\sigma}_{Y}` nul:

:math:`r(t)={\left[\frac{(M+N)}{M(1+k-N)}{(\frac{{\sigma}_{0}}{A})}^{-R}{(\frac{{\sigma}_{0}}{K})}^{N}(1-{(1-(1+k){(\frac{{\sigma}_{0}}{A})}^{R}t)}^{\frac{1+k-N}{1+k}})\right]}^{\frac{M}{M+N}}`


.. image:: images/Object_4.png
    :width: 4.3646in
    :height: 3.3335in


.. _RefSchema_Object_4.png:

Dans les expressions précédentes, :math:`D` est la variable d’endommagement correspondant à la variable interne :math:`\mathit{V9}` et :math:`r` est la variable d’écrouissage viscoplastique multiplicatif correspondant à la variable interne :math:`\mathit{V8}` .

On a également la correspondance suivantes, par rapports aux paramètres du mot clé VENDOCHAB:

:math:`N={N}_{\mathit{VP}}`

:math:`M={M}_{\mathit{VP}}`

:math:`K={K}_{\mathit{VP}}`

:math:`A={A}_{D}`

:math:`R={R}_{D}`

:math:`k={K}_{D}`


Grandeurs et résultats de référence
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Évolution de la variable d’endommagement, :math:`D` , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :


.. csv-table::

    "**Instant**", "**Référence**"
    "520000", "1.52596E-02"
    "1000000", "3.30676E-02"
    "2000000", "9.9465369E-02"
    "2250000", "1.37520763E-01"
    "2500000", "2.66018229E-01"


Évolution de la variable d’écrouissage isotrope viscoplastique, :math:`r` , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :


.. csv-table::

    "**Instant**", "**Référence**"
    "520000", "2.300147E-03"
    "1000000", "3.179469E-03"
    "2000000", "4.95103E-03"
    "2250000", "5.592847E-03"
    "2500000", "6.99749E-03"


L’écart observé sur :math:`D` pour :math:`t=2.5{10}^{6}s` est dû à la très forte non linéarité de l’évolution de la variable d’endommagement.


Incertitudes sur la solution
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Précision des codes