Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- La solution de référence est calculée de façon semi-analytique, sachant qu'en traction, seul le critère de traction est activé. Il faut donc résoudre un système d'une équation à une inconnue, qui permet d'obtenir par dichotomie par exemple, la déformation plastique cumulée en traction. Celle-ci permet de calculer ensuite déformations et contraintes. Ceci est possible, connaissant le déplacement, et donc la déformation dans les deux directions imposées. Le déplacement dans la troisième direction est alors une inconnue du problème. La solution de référence est calculée uniquement en traction. La solution est déterminée par un programme de résolution par dichotomie en fortran indépendant. En compression, en décharge, la solution exacte n'a pas été recalculée, et constitue une solution de non régression du code, liée à la version 5.02.14. Pour la modélisation B, les résultats se déduisent par rotation du tenseur de contrainte de la modélisation A, du repère intrinsèque du cube au repère utilisateur, le champ de contrainte des deux configurations étant identique dans le repère intrinsèque du cube. Calcul de la solution de référence de référence ----------------------------------------------- Pour plus de détails sur les notations et la mise en équation, on se reportera au document de référence. Seules, les principales équations sont rappelées ici. On note :math:`\text{a}` , le déplacement imposé suivant la direction :math:`x` , et :math:`\text{2.a}` le déplacement imposé suivant la direction :math:`z` . Le tenseur de déformation est de la forme :math:`(a,{\varepsilon}_{y},\mathrm{2.a},0.,0.,0.)` en prenant les notations usuelles de *Code_Aster* (trois composantes principales, trois composantes de cisaillement). Le tenseur de contrainte est de la forme :math:`({\sigma}_{x},0.,{\sigma}_{z},0.,0.,0.)` , dans la modélisation A. Le critère de traction s'exprime sous la forme : .. image:: images/Object_1.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_1.svg: Les équations constitutives sont écrites en distinguant la partie isotrope de la partie déviatorique des tenseurs de contraintes et de déformations. .. image:: images/Object_2.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_2.svg: .. image:: images/Object_3.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_3.svg: .. image:: images/Object_4.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_4.svg: .. image:: images/Object_5.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_5.svg: .. image:: images/Object_6.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_6.svg: .. image:: images/Object_7.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_7.svg: La contrainte équivalente s'écrit alors : :math:`{\sigma}^{\mathit{eq}}=\sqrt{\frac{3}{2}\mathit{tr}(s)}` Dans le cas d'une formulation incrémentale, et d'une loi de comportement variable, en notant avec un exposant :math:`e` les composantes élastiques de la contrainte et de la déformation, on obtient : .. image:: images/Object_9.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_9.svg: et .. image:: images/Object_10.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_10.svg: Les critères en compression et en traction s'expriment de la manière suivante : .. image:: images/Object_11.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_11.svg: .. image:: images/Object_12.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_12.svg: Les déformations plastiques en traction et en compression s'expriment : +---------------------------------+---------------------------------+ | | | | .. image:: images/Object_13.svg | .. image:: images/Object_14.svg | | :width: 357 | :width: 87 | | :height: 43 | :height: 41 | | | | | | | | .. _RefImage_Object_13.svg: | .. _RefImage_Object_14.svg: | | | | | | | +---------------------------------+---------------------------------+ | | | | .. image:: images/Object_15.svg | .. image:: images/Object_16.svg | | :width: 357 | :width: 87 | | :height: 43 | :height: 41 | | | | | | | | .. _RefImage_Object_15.svg: | .. _RefImage_Object_16.svg: | | | | | | | +---------------------------------+---------------------------------+ On obtient pour la contrainte : +----------------------------------+---------------------------------+ | | | | .. image:: images/Object_17.svg | .. image:: images/Object_18.svg | | :width: 357 | :width: 87 | | :height: 43 | :height: 41 | | | | | | | | .. _RefImage_Object_17.svg: | .. _RefImage_Object_18.svg: | | | | | | | +----------------------------------+---------------------------------+ | | | | .. image:: images/Object_19.svg | .. image:: images/Object_20.svg | | :width: 357 | :width: 87 | | :height: 43 | :height: 41 | | | | | | | | .. _RefImage_Object_19.svg: | .. _RefImage_Object_20.svg: | | | | | | | +----------------------------------+---------------------------------+ | | | | pour la contrainte équivalente : | .. image:: images/Object_21.svg | | | :width: 357 | | | :height: 43 | | | | | | | | | .. _RefImage_Object_21.svg: | | | | | | | +----------------------------------+---------------------------------+ Les deux critères conduisent alors à un système de deux équations à deux inconnues .. image:: images/Object_22.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_22.svg: et .. image:: images/Object_23.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_23.svg: à résoudre : .. image:: images/Object_24.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_24.svg: De façon analogue, dans le cas du seul critère de traction activé, **configuration du cas test** , on obtient un système d'une équation à une inconnue .. image:: images/Object_25.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_25.svg: à résoudre : .. image:: images/Object_26.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_26.svg: On cherche donc à résoudre ce système, en utilisant la forme particulière des tenseurs de contraintes et de déformations, uniformes sur la structure. En partant de .. image:: images/Object_27.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_27.svg: . on obtient : Le tenseur de contrainte élastique .. image:: images/Object_28.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_28.svg: Le déviateur de contrainte élastique .. image:: images/Object_29.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_29.svg: La contrainte hydrostatique élastique .. image:: images/Object_30.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_30.svg: La contrainte équivalente élastique .. image:: images/Object_31.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_31.svg: Dans le cas d'une courbe d'écrouissage post-pic linéaire en traction, l'expression du paramètre d'écrouissage est le suivant : .. image:: images/Object_32.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_32.svg: avec .. image:: images/Object_33.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_33.svg: On cherche donc à résoudre l'équation : .. image:: images/Object_34.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_34.svg: .. _RefEquation 2.2-1: éq 2.2-1 Sachant que la contrainte dans la direction :math:`y` est nulle, on obtient une seconde équation : .. image:: images/Object_35.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_35.svg: .. image:: images/Object_36.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_36.svg: D'où : .. image:: images/Object_37.svg :width: 357 :height: 43 .. _RefImage_Object_37.svg: que l'on peut substituer dans l'expression du critère [:ref:`éq 2.2-1 <éq 2.2-1>`]. Connaissant :math:`a` , le déplacement imposé, on obtient une équation non linéaire à une inconnue, que l'on peut résoudre simplement par dichotomie, et qui permet de calculer la déformation :math:`{\varepsilon}_{y}` , puis l'ensemble des inconnues du système. Incertitude sur la solution --------------------------- Elle est négligeable, de l'ordre de la précision machine. Références bibliographiques --------------------------- Le modèle a été défini à partir des thèses suivantes : 1. J. F. GEORGIN, lors de sa thèse "Contribution à la modélisation numérique du comportement du béton et des structures en béton armé sous sollicitations thermo-mécaniques à haute température", 2. G. HEINFLING, lors de sa thèse "Contribution à la modélisation du béton sous sollicitation de dynamique rapide. La prise en compte de l'effet de vitesse par la viscoplasticité", et est décrit dans le rapport de spécification : 3. SCSA/128IQ1/RAP/00.034 Version 1.2, Développement d'un modèle de comportement 3D béton avec double critère de plasticité dans le *Code_Aster* - Spécifications ".