Modélisation E
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Caractéristiques de la modélisation
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C'est une modélisation :math:`\mathrm{3D}` XFEM avec des éléments linéaires.

Cette modélisation permet d'effectuer une comparaison directe entre 2 méthodes de pré-conditionnement: l'élimination des ddls Heaviside avec le critère de rigidité (modélisation :math:`D` ) et le pré-conditionneur XFEM (modélisation :math:`E` ). Comme dans la modélisation :math:`D` , on se place tout juste avant le seuil de réajustement de l'interface, à 1.1% de la longueur de l'arête. Dans la commande MODI_MODELE_XFEM, on passe l'option PRETRAITEMENTS='FORCE'[U4.41.11],qui active le pré-conditionneur XFEM. L'utilisation du pré-conditionneur XFEM permet de gagner 3 ordres de grandeurs sur la précision des résultats.

L'équation de l'interface XFEM est : :math:`x+y+z+0.011=0` . Le pré-conditionneur est activé par PRETRAITEMENTS='FORCE'[U4.41.11] pour cette modélisation. Le critère d'élimination de ddls Heaviside n'est donc pas activé.


Caractéristiques du maillage
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Même maillage que la modélisation :math:`\text{A}` .


Grandeurs testées et résultats
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On teste l'erreur maximale sur le déplacement, en valeur absolue, le long de l'interface XFEM. On extrait une liste de points situés sur l'interface, ainsi que le champ de déplacement interpolé en ces points.

Comme le champ de déplacement est discontinu, il existe en chaque point de l'interface 2 valeurs analytiques du champ de déplacement :math:`{U}^{+}\left(x,y,z\right)=\lbrace {U}_{1}^{+},{U}_{2}^{+},{U}_{3}^{+}\rbrace` et :math:`{U}^{-}\left(x,y,z\right)=\lbrace {U}_{1}^{-},{U}_{2}^{-},{U}_{3}^{-}\rbrace` .On compare ces valeurs analytiques, au champ de déplacement interpolé en chaque point.

En pratique, dans le Code_Aster pour tenir compte de la discontinuité lors de l'interpolation, chaque point sur l'interface est transformé en nœuds doublon (NP* et NM*) auxquels sont associées des valeurs de déplacements :math:`{\mathit{DX}}_{i}(\mathit{NP})` et :math:`{\mathit{DX}}_{i}(\mathit{NM})` .


*   Pour les nœuds «PLUS» (noté NP* par défaut dans le code_Aster) , on calcule alors la table de différence suivante :math:`\mathit{DIFF}{(\mathit{NP})}_{i}=∣{U}_{i}^{+}({x}_{\mathit{NP}},{y}_{\mathit{NP}},{z}_{\mathit{NP}})-{\mathit{DX}}_{i}(\mathit{NP})∣` ;


*   pour les nœuds «MOINS» (noté NM* par défaut dans le code_Aster), on calcule alors la table de différence suivante :math:`\mathit{DIFF}{(\mathit{NM})}_{i}=∣{U}_{i}^{-}({x}_{\mathit{NM}},{y}_{\mathit{NM}},{z}_{\mathit{NM}})-{\mathit{DX}}_{i}(\mathit{NM})∣` .


.. csv-table::

    "**Identification**", "**Référence**", "**Type**", "**% tolérance**"
    ":math:`\text{DIFF}{\text{(NP)}}_{X}` (MAX)", "0.0", "Analytique", "1.E-09"
    ":math:`\text{DIFF}{\text{(NP)}}_{Y}` (MAX)", "0.0", "Analytique", "1.E-09"
    ":math:`\text{DIFF}{\text{(NP)}}_{Z}` (MAX)", "0.0", "Analytique", "1.E-09"
    ":math:`\text{DIFF}{\text{(NM)}}_{X}` (MAX)", "0.0", "Analytique", "1.E-03"
    ":math:`\text{DIFF}{\text{(NM)}}_{Y}` (MAX)", "0.0", "Analytique", "1.E-03"
    ":math:`\text{DIFF}{\text{(NM)}}_{Z}` (MAX)", "0.0", "Analytique", "1.E-03"


**Tableau** 7.3-1 **: résultats synthétiques**


Remarque
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On gagne plusieurs ordres de grandeurs sur la précision des résultats, par rapport à la modélisation :math:`\text{D}` , pour la même position de l'interface. Dans la modélisation :math:`\text{E}` , le conditionnement est contrôlé par le pré-conditionneur et du même ordre de grandeur que pour la modélation :math:`\text{D}` (autour de :math:`{10}^{3}` ).