Solution de référence
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Solution formelle
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On cherche à définir la déformation :math:`\varepsilon` selon la direction principale d’une nappe d’armature située dans le plan :math:`({x}_{\mathrm{1 }};{y}_{1})` .

Compte tenu des conditions aux limites choisies, on peut écrire:


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.. _RefImage_Object_1.svg:

avec :math:`({u}_{\mathrm{x1}},{u}_{\mathrm{y1}})` les composantes du vecteur déplacement dans le plan :math:`({x}_{\mathrm{1 }};{y}_{1})` et :math:`\theta` l’angle entre la direction principale de la nappe d’armature et :math:`{x}_{1}` .

Pour définir la direction principale de la nappe, on utilise les angles nautiques :math:`(\alpha ;\beta )` donnés par le mot clé ANGL_REP. Ils définissent un vecteur :math:`v` dont la projection :math:`{x}_{p}` sur le plan tangent de la nappe fixe la direction principale.


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.. _RefImage_Object_2.svg:

avec :math:`(x,y,z)` le repère initial. Pour notre application, le vecteur déplacement :math:`U` s’écrit:


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.. _RefImage_Object_3.svg:

Pour la nappe :math:`\mathrm{GEOX}` (plan :math:`(y;z)` ):


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.. _RefImage_Object_4.svg:

La direction principale de la nappe est

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.. _RefImage_Object_5.svg:

(:math:`\theta =90°` *)* . La déformation s’écrit alors:


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.. _RefImage_Object_6.svg:

Pour la nappe :math:`\mathrm{GEOY}` (plan :math:`(x;z)` ):


.. image:: images/Object_7.svg
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.. _RefImage_Object_7.svg:

La direction principale de la nappe fait donc un angle de :math:`40°` avec le plan de la nappe. La déformation s’écrit alors:


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.. _RefImage_Object_8.svg:

Pour la nappe :math:`\mathrm{GEOZ}` (plan :math:`(x;y)` ):


.. image:: images/Object_9.svg
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.. _RefImage_Object_9.svg:

La direction principale de la nappe fait donc un angle de :math:`15°` avec le plan de la nappe. La déformation s‘écrit alors:


.. image:: images/Object_10.svg
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.. _RefImage_Object_10.svg:

Ces trois valeurs seront les valeurs de référence analytiques pour la validation des calculs.