Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Pour une fissure circulaire de rayon :math:`a` dans un milieu infini, soumise à une traction uniforme :math:`\sigma ` suivant la normale au plan des lèvres, le taux de restitution d'énergie local :math:`G(s)` est indépendant de l’abscisse curviligne :math:`s` et vaut [:ref:`bib1 <bib1>`]:

:math:`G(s)=\frac{(1-{\nu}^{2})}{\pi E}4{\sigma}^{2}a`

alors le coefficient d’intensité de contrainte :math:`\mathrm{K1}` est donné par la formule d’Irwin:


.. image:: images/Object_7.svg
    :width: 127
    :height: 49


.. _RefImage_Object_7.svg:

soit :math:`{K}_{I}=\frac{2\sigma \sqrt{a}}{\sqrt{\pi}}`

Si cette fissure est soumise à un cisaillement réparti sur les lèvres: :math:`{\sigma}_{\theta z}=\tau \frac{r}{a}`

(ce qui équivaut à une torsion à l’infini), alors on est en mode 3 pur et le facteur d’intensité de contraintes correspondant vaut:

:math:`{K}_{3}=\frac{4\tau \sqrt{a}}{3\sqrt{\pi}}` donc par la formule d’Irwin :math:`G(s)=\frac{(1+\nu )}{E}{K}_{3}^{2}`

En présence des deux modes combinés, on aura:

:math:`G(s)=\frac{(1-{\nu}^{2})}{E}{K}_{1}^{2}+\frac{(1+\nu )}{E}{K}_{3}^{2}`


Résultats de référence
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Application Numérique (cas avec chargement de traction uniquement) :

Pour le chargement considéré et :math:`a=2m` , on obtient alors:


.. csv-table::

    ":math:`G(s)=11.586J/{m}^{2}`"
    ":math:`\mathit{K1}=1.5958E6J/{m}^{2}`"


Pour la modélisation :math:`G` (3 fonds de fissure différents) avec le même chargement, on obtient:

pour :math:`a=2m`


.. csv-table::

    ":math:`G(s)=10.586J/{m}^{2}`"
    ":math:`\mathrm{K1}=1.5958E6J/{m}^{2}`"


pour :math:`a=1.88m`


.. csv-table::

    ":math:`G(s)=10.891J/{m}^{2}`"
    ":math:`\mathrm{K1}=1.5472E6J/{m}^{2}`"


pour :math:`a=1.76m`


.. csv-table::

    ":math:`G(s)=10.196J/{m}^{2}`"
    ":math:`\mathrm{K1}=1.4969E6J/{m}^{2}`"


Application Numérique (cas avec chargement de torsion uniquement) :


.. csv-table::

    ":math:`G(s)=7.3565J/{m}^{2}`"
    ":math:`\mathrm{K1}=1.0638E6J/{m}^{2}`"



Référencesbibliographiques
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1.  Solution de Sneddon (1946) dans G.C. SIH : Handbook of stress-intensity factors Institute of Fracture and Solid Mechanics - Lehigh University Bethlehem, Pennsylvannie