Solution de référence
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Méthode de calcul
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Le calcul est analytique.

On a utilisé le programme de calcul formel Mathématica pour le réaliser.

On sait que le champ de déplacement est:

:math:`\mathrm{dX}=\mathrm{2x}+\mathrm{3y}+\mathrm{4z}`

:math:`\mathrm{dY}=\mathrm{3x}+\mathrm{5y}+\mathrm{6z}`

:math:`\mathrm{dZ}=\mathrm{4x}+\mathrm{6y}+\mathrm{7z}`

Le champ de déformations :math:`{\varepsilon}_{G}` dans le repère global est donc constant et égal à:


.. image:: images/Object_6.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_6.svg:

Soit :math:`P` la matrice de passage permettant de faire passer un vecteur du repère global :math:`(A,X,Y,Z)` au repère local :math:`(A,L,N,T)` .

Soit

.. image:: images/Object_7.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_7.svg:

le tenseur de déformation dans le repère local. On a: :math:`{\varepsilon}_{L}=P\cdot {\varepsilon}_{G}\cdot {P}^{T}`

Le tenseur de Hooke

.. image:: images/Object_9.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_9.svg:

est connu dans le repère local, soit

.. image:: images/Object_10.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_10.svg:

le tenseur des contraintes dans ce repère. On a:


.. image:: images/Object_11.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_11.svg:

On obtient le tenseur

.. image:: images/Object_12.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_12.svg:

des contraintes dans le repère global par:

.. image:: images/Object_13.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_13.svg:

Dans le cas où on applique un champ de température, les équations ci-dessus sont modifiées comme suit:

Le champ de déformations

.. image:: images/Object_14.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_14.svg:

dans le repère global est toujours le même:


.. image:: images/Object_15.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_15.svg:

Soit

.. image:: images/Object_16.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_16.svg:

le tenseur de déformation dans le repère local. On a:

.. image:: images/Object_17.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_17.svg:

Le tenseur des déformations mécaniques dans le repère local vaut donc:


.. image:: images/Object_18.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_18.svg:

avec

.. image:: images/Object_19.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_19.svg:

, les autres composantes étant nulles

Le tenseur de Hooke

.. image:: images/Object_20.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_20.svg:

est connu dans le repère local. Soit

.. image:: images/Object_21.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_21.svg:

le tenseur des contraintes dans ce repère. On a:


.. image:: images/Object_22.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_22.svg:

On obtient le tenseur

.. image:: images/Object_23.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_23.svg:

des contraintes dans le repère global par:

.. image:: images/Object_24.svg
    :width: 98
    :height: 76


.. _RefImage_Object_24.svg:


Résultats de référence
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Ils sont obtenus en effectuant les opérations décrites ci-dessus avec Mathematica.


Incertitudes sur la solution
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L’incertitude est nulle car la solution est analytique.


Références bibliographiques
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Pour la description des matrices de Hooke pour des matériaux isotrope transverse et orthotrope pour les modélisations 3D, contraintes planes et déformations planes, la référence choisie a été:

*‘Matrice de Hooke pour les matériaux orthotropes* ‘. Rapport interne applications en Mécanique n°79‑018 de Jean-Claude Masson CISI.