Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Ce problème admet une solution analytique qu’on exposedans cette partie.

Le chargement est tel que la solution est homogène.La contrainte qui s’installe dans le cube vaut :math:`\sigma ={\sigma}_{0}\text{}{e}_{x}\otimes {e}_{x}` . Et le vecteur contrainte sur l’interface a pour composantes normale et tangentielle :math:`{\sigma}_{n}={\sigma}_{0}/2` et :math:`{\sigma}_{t}=-{\sigma}_{0}/2` , où le repère local :math:`(n,t,{e}_{z})` est direct.

Il en résulte une déformation dans le volume égale à:

:math:`\epsilon =\frac{{\sigma}_{0}}{E}({e}_{x}\otimes {e}_{x}-\nu {e}_{y}\otimes {e}_{y}-\nu {e}_{z}\otimes {e}_{z})`

En notant :math:`\delta` le saut de déplacement à travers l’interface, on en déduit que le déplacement en un point :math:`x` du cube vaut:

:math:`u(x)=\epsilon \cdot x+\delta H(x)`

où :math:`H` est la fonction de Heaviside qui vaut 0 à gauche de l’interface et 1 à sa droite.

Enfin, le saut de déplacement à travers l’interface dépend du choix des conditions d’adhérence. On donne dans le tableau ci-dessous les valeurs de ses composantes normale et tangentielle selon la combinaison de conditions d’adhérence retenue. La composante verticale :math:`{\delta}_{z}` est nulle dans tous les cas.


.. csv-table::

    "", "Adhérence normale élastique", "Adhérence normale unilatérale", "Adhérence normaleparfaite"
    "Adhérence tangentielle élastique", ":math:`{\delta}_{n}={\sigma}_{n}/{k}_{n}`
    :math:`{\delta}_{t}={\sigma}_{t}/{k}_{t}`", ":math:`{\delta}_{n}=⟨{\sigma}_{n}⟩/{k}_{n}`
    :math:`{\delta}_{t}={\sigma}_{t}/{k}_{t}`", ":math:`{\delta}_{n}=0`
    :math:`{\delta}_{t}={\sigma}_{t}/{k}_{t}`"
    "Adhérence tangentielle parfaite", ":math:`{\delta}_{n}={\sigma}_{n}/{k}_{n}`
    :math:`{\delta}_{t}=0`", ":math:`{\delta}_{n}=⟨{\sigma}_{n}⟩/{k}_{n}`
    :math:`{\delta}_{t}=0`", ":math:`{\delta}_{n}=0`
    :math:`{\delta}_{t}=0`"



Résultats de référence
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Le déplacement est évalué au point :math:`x=y=z=1000` en 3D et :math:`x=y=1000` en 2D, selon la solution analytique ci-dessus.

On s’assurera que le calcul retrouve le déplacement attendu pour toutes les combinaisons de conditions d’adhérence et pour les deux valeurs (traction et compression) de la contrainte.


Incertitudes sur la solution
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Néant.


Références bibliographiques
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Lorentz E. (2021) . ADELAHYD II - Recommandations relatives à la simulation numérique de zones cohésives par éléments finis d'interface. Note interne EDF R&D 6125-1724-2021-01404.