Solution de référence
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Méthode de calcul
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L’étude de ce cas se base entièrement sur l’article de Mariani et Perego. Trois configurations initiales de fissure sont choisies: :math:`\chi =0,25` et :math:`50` . Dans ce cas test, nous n'avons choisi que :math:`\chi =50` . On compare donc le trajet de propagation par rapport au trajet expérimental de l'article [bib1]_.

Les expressions de référence des facteurs d’intensité de contrainte :math:`{K}_{I}` et :math:`{K}_{\mathit{II}}` sont celles de la méthode maillage. On comparera donc les valeurs des méthodes simplexe, upwind et géométrique aux valeurs données par la méthode maillage.

Pour la propagation de la fissure, nous utilisons la loi de Paris :

:math:`\begin{array}{c}\frac{\mathit{da}}{\mathit{dN}}=C\Delta {K}^{m}\end{array}` où a est la longueur de fissure, :math:`C` et :math:`m` sont des constantes du matériau, :math:`\begin{array}{}\Delta K\end{array}` est la différence entre deux :math:`\mathrm{FICs}` consécutifs et :math:`N` est le nombre de cycles.

Le critère de bifurcation utilisé est le *maximum hoop stress criterion* :

:math:`\begin{array}{c}\beta =2\arctan[\frac{1}{4}(\frac{{K}_{I}}{{K}_{\mathit{II}}}-\mathit{sign}({K}_{\mathit{II}})\sqrt{(\frac{{K}_{I}}{{K}_{\mathit{II}}})\mathrm{²}+8})]\end{array}`

Avec les valeurs numériques du test:

 Pas de propagation : :math:`0,3m`

 :math:`{x}_{0}:65\mathrm{mm}`

 :math:`{y}_{0}:19\mathrm{mm}`

 Nombre de pas de propagation : 13

 :math:`\mathrm{RI}:3\mathrm{mm}`

 :math:`\mathrm{RS}:12\mathrm{mm}`

 :math:`\mathrm{RP}:12\mathrm{mm}`


Grandeurs et résultats de référence
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.. table:: Valeurs de référence pour :math:`{K}_{I}` et :math:`{K}_{\mathrm{II}}`
   :widths: auto
   
   +-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
   | Référence (méthode maillage)                                                                                                                                          |
   +------------------------------+------------------------+--------------------------------------------------+------------------------------------------------------------+
   | :math:`x(\mathrm{mm})`       | :math:`y(\mathrm{mm})` | :math:`{K}_{I}({\mathrm{MPa.m}}^{0,5})`          | :math:`{K}_{\mathrm{II}}({\mathrm{MPa.m}}^{0,5})`          |
   +------------------------------+------------------------+--------------------------------------------------+------------------------------------------------------------+
   | 65                           | 19                     | 2,43961 10-1                                     | 4,27722 10-2                                               |
   +------------------------------+------------------------+--------------------------------------------------+------------------------------------------------------------+
   | 66,129                       | 22,313                 | 2,90147 10-1                                     | 1,21013 10-4                                               |
   +------------------------------+------------------------+--------------------------------------------------+------------------------------------------------------------+
   | 67,261                       | 25,625                 | 3,30840 10-1                                     | 7,10255 10-3                                               |
   +------------------------------+------------------------+--------------------------------------------------+------------------------------------------------------------+
   | 68,533                       | 28,885                 | 3,75984 10-1                                     | 1,94683 10-3                                               |
   +------------------------------+------------------------+--------------------------------------------------+------------------------------------------------------------+
   | 69,839                       | 32,132                 | 4,33606 10-1                                     | 1,20266 10-3                                               |
   +------------------------------+------------------------+--------------------------------------------------+------------------------------------------------------------+
   | 71,164                       | 35,372                 | 4,96975 10-1                                     | 8,82542 10-4                                               |
   +------------------------------+------------------------+--------------------------------------------------+------------------------------------------------------------+
   | 72,5                         | 38,607                 | 5,73785 10-1                                     | -1,23199 10-3                                              |
   +------------------------------+------------------------+--------------------------------------------------+------------------------------------------------------------+
   | 73,821                       | 41,848                 | 6,70222 10-1                                     | -3,54655 10-3                                              |
   +------------------------------+------------------------+--------------------------------------------------+------------------------------------------------------------+
   | 75,109                       | 45,103                 | 7,89716 10-1                                     | -4,54122 10-3                                              |
   +------------------------------+------------------------+--------------------------------------------------+------------------------------------------------------------+
   | 76,359                       | 48,372                 | 9,39463 10-1                                     | -8,18030 10-3                                              |
   +------------------------------+------------------------+--------------------------------------------------+------------------------------------------------------------+
   | 77,552                       | 51,662                 | 1,15201                                          | -1,55772 10-2                                              |
   +------------------------------+------------------------+--------------------------------------------------+------------------------------------------------------------+
   | 78,655                       | 54,984                 | 1,45163                                          | -2,31849 10-2                                              |
   +------------------------------+------------------------+--------------------------------------------------+------------------------------------------------------------+
   | 79,652                       | 58,339                 | 1,91885                                          | -3,52229 10-2                                              |
   +------------------------------+------------------------+--------------------------------------------------+------------------------------------------------------------+


Références bibliographiques
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.. [bib1]   Mariani S, Perego U – Extended finite element method for quasi-brittle fracture, *International Journal for numerical methods in engineering* , 58:103-126 (2003)