Solution de référence ===================== Méthode de calcul ------------------ La déformation est estimée à partir de l'allongement relatif de la poutre. L'allongement d'une poutre de longueur :math:`L` suite à une force longitudinale :math:`F` s'écrit : :math:`\Delta L=\frac{FL}{ES}` Dans notre cas, on applique une force par unité de surface :math:`{F}_{B}` à l'extrémité libre de la poutre, ainsi l'allongement relatif de la poutre se met sous la forme suivante : :math:`\frac{\Delta L}{L}={\epsilon}_{xx}=\frac{{F}_{B}}{E}` Pour ce cas test, on calcul les résultats issus d'un calcul statique, d'un calcul harmonique, un calcul transitoire et d'un calcul modal. Pour le cas statique, on obtient : :math:`{\varepsilon}_{xx}=\frac{{F}_{B}}{E}` et :math:`{\varepsilon}_{yy}={\varepsilon}_{zz}=-\nu {\varepsilon}_{xx}` Pour les cas dynamiques, le système est régi par l'équation suivante : :math:`M\frac{{\partial}^{2}u}{\partial {t}^{2}}+Ku={F}_{\mathrm{ext}}` Pour une poutre en traction - compression, si on considère un modèle qui ne contient qu'un seul élément, les matrices de masse :math:`M` et de rigidité :math:`K` se mettent sous la forme suivante : :math:`M=\frac{\rho SL}{6}\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]` :math:`K=\frac{\mathrm{ES}}{L}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]` avec : :math:`u=\left[\begin{array}{c}{u}_{1}\\ {u}_{2}\end{array}\right]` :math:`{u}_{1}` et :math:`{u}_{2}` sont les déplacements des noeuds de l'élément. En réponse harmonique de pulsation :math:`\omega` , les déplacements des noeuds de l'élément sont régis par la relation suivante : :math:`\frac{\mathrm{ES}}{L}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{1}\\ {u}_{2}\end{array}\right]-{\omega}^{2}\frac{\rho SL}{6}\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{1}\\ {u}_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_{1}\\ {F}_{2}\end{array}\right]` En exploitant la deuxième ligne de cette relation, et en appliquant les conditions aux limites (:math:`{u}_{1}=0` et :math:`{F}_{2}=F={F}_{B}S` ), on obtient : :math:`{u}_{2}=\frac{{F}_{B}}{\frac{E}{L}-{\omega}^{2}\frac{\rho L}{3}}=\Delta L` La déformation à l'extrémité libre de la poutre s'écrit : :math:`{\varepsilon}_{xx}=\frac{\Delta L}{L}=\frac{{F}_{B}}{E-{\omega}^{2}\frac{\rho {L}^{2}}{3}}` et :math:`{\varepsilon}_{yy}={\varepsilon}_{zz}=-\nu {\varepsilon}_{xx}` La solution de référence pour la solution transitoire peut être obtenue de la même manière. Si on applique une force longitudinale :math:`F(t)=Ft={F}_{B}St` avec une condition initiale de poutre en équilibre (déplacement initial nul et vitesse initiale nulle), on obtient : :math:`{u}_{2}(t)=\frac{3{F}_{B}}{\rho L{\omega}_{0}^{2}}\left[t-\frac{\sin({\omega}_{0}t)}{{\omega}_{0}}\right]=\Delta L` avec : :math:`{{\omega}_{0}}^{2}=\frac{3E}{\rho {L}^{2}}` Et la déformation à l'extrémité libre de la poutre s'écrit : :math:`{\varepsilon}_{xx}=\frac{\Delta L}{L}=\frac{3{F}_{B}}{\rho {L}^{2}{\omega}_{0}^{2}}\left[t-\frac{\sin({\omega}_{0}t)}{{\omega}_{0}}\right]` et :math:`{\varepsilon}_{yy}={\varepsilon}_{zz}=-\nu {\varepsilon}_{xx}` Dans le cas du calcul modal, on effectue un test de non-régression sur les déformations calculées au point milieu de la poutre. On simule également une rotation de 90 degrés afin de vérifier le changement de repère dans OBSERVATION. Grandeurs et résultats de référence ----------------------------------- On teste la valeur de la déformation moyenne sur les surfaces : :math:`\mathrm{surf3}` , :math:`\mathrm{surf4}` , :math:`\mathrm{surf5}` et :math:`\mathrm{surf6}` . Les résultats obtenus sont ensuite projetés sur le modèle «mesure» qui ne comprend que les noeuds :math:`\mathrm{P3}` , :math:`\mathrm{P4}` , :math:`\mathrm{P5}` et :math:`\mathrm{P6}` associés aux surfaces :math:`\mathrm{surf3}` , :math:`\mathrm{surf4}` , :math:`\mathrm{surf5}` et :math:`\mathrm{surf6}` . Pour la validation de la solution statique, on a choisit : :math:`{F}_{B}=1000.N/{m}^{2}` Pour la validation de la solution harmonique, on a choisi : :math:`{F}_{B}=1000.(1+\mathrm{2j})N/{m}^{2}` et : :math:`\omega =2\pi 200\mathrm{rd}{s}^{-1}` Pour la validation de la solution transitoire, on a choisi : :math:`{F}_{B}=1000.tN/{m}^{2}` et la solution est testée à l'instant :math:`t=1s` On teste également les valeurs des champs obtenus par observation mixte. Incertitudes sur la solution ---------------------------- Solution analytique pour le cas statique, le cas harmonique et le cas transitoire. On propose une solution de non-régression pour le cas de la déformation modale. Référence bibliographique ------------------------- [:ref:`R3.08.01 `] Éléments «exacts» de poutres (droites et courbes).