Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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La solution de référence est obtenue à l’aide du logiciel de calcul par éléments finis SAMCEF pour des modélisations identiques mais avec des matrices élémentaires de masse cohérentes.

On rappelle la solution analytique donnée dans la fiche SDLL09/89 du guide VPCS. L'équation différentielle en flexion de la poutre considérée, en théorie d'Euler-Bernoulli s'écrit (Théorie d'Euler‑Bernoulli) :

:math:`\frac{{\partial}^{2}(E{I}_{z}\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}})}{\partial {x}^{2}}=-\rho A\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {t}^{2}}`

où :math:`{I}_{z}` et :math:`A` varient avec l'abscisse.

Les fréquences propres sont alors de la forme:

:math:`{f}_{i}=\frac{1}{2\pi }{\lambda}_{i}(\alpha ,\beta )\frac{{h}_{1}}{{L}^{2}}\sqrt{\frac{E}{12\rho }}`

avec :math:`\alpha =\frac{{h}_{0}}{{h}_{1}}=4` et :math:`\beta =\frac{{b}_{0}}{{b}_{1}}=4` .

Pour cette valeur de :math:`\alpha` et :math:`\beta` , les premières valeurs de la suite :math:`({\lambda}_{i})` sont :


.. csv-table::

    "", ":math:`{\lambda}_{1}`", ":math:`{\lambda}_{2}`", ":math:`{\lambda}_{3}`", ":math:`{\lambda}_{4}`", ":math:`{\lambda}_{5}`"
    ":math:`\beta =4`", "23.289", "73.9", "165.23", "299.7", "478.1"



Résultats de référence
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Les résultats de référence retenus sont les 5 premières fréquences propres des modes de flexion.


Incertitude sur la solution
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Solution analytique en théorie de poutre de Bernoulli, et solution numérique SAMCEF.


Références bibliographiques
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1.  H.H. MABIE, C.B. ROGERS, Transverse vibrations of double-tapered cantilever beams- Journal of the Acoustical Society of America, n°51, p.1771-1774 (1972).