Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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L’intérêt du test est ici de calculer et de tester l’autospectre d’effort modal obtenu à partir d’un spectre de pression caractéristique d’écoulements turbulents établis.

Pour ce cas, le mode de déplacement est imposé. Il n'est donc pas nécessaire de réaliser un calcul modal pour la structure.
L'autospectre d'effort modal, calculé à partir de la déformée statique s'écrit :

:math:`\mathit{DSP}(\omega )={S}_{p}(\omega ){J}_{{{A}_{ij}}_{}}^{2}(w)`

Le spectre choisi ici est constant puis nul à partir d’une fréquence de coupure:


.. image:: images/10000200000006A9000005092E78E7DE07EF2274.png
    :width: 6.3591in
    :height: 4.8075in


.. _RefImage_10000200000006A9000005092E78E7DE07EF2274.png:

On a pour spectre de pression:

:math:`{S}_{{p}_{}}(\omega )={K}^{2}({\mathit{\rho U}}^{2}{)}^{2}{d}^{3}` pour :math:`0,1<\frac{\omega d}{2\pi U}<10`

Avec les paramètres choisis, :math:`{S}_{{p}_{}}(\omega )\approx 1.0`

La fonction de cohérence choisie dans le cas de ce cylindre circulaire soumis à écoulement parallèle, est issue d’un modèle de AU_YANG:

:math:`{r}^{(s)}(x-x\text{',}\omega )={e}^{-(x-x')/\lambda }\cos(\omega (x-x')/{U}_{c})`

:math:`{r}^{(s)}(\theta -\theta \text{',}\omega )={e}^{-R(\theta -\theta ')/\lambda '}`

Les paramètres :math:`\lambda` et :math:`\lambda '` sont les longueurs de corrélation suivant l'axe et la direction orthoradiale respectivement.

:math:`{U}_{c}` est la vitesse convective axiale des tourbillons : elle est égale au produit du coefficient de vitesse axiale par la vitesse du fluide.

La fonction acceptance est définie par :

:math:`{J}_{{{A}_{ij}}_{}}^{2}(\omega )=\underset{A}{\int}\underset{A}{\int}r(x-x\text{',}\omega ){f}_{{i}_{\alpha}}(x){f}_{{j}_{\alpha '}}(x'){n}_{\alpha}(x){n}_{\alpha '}(x')\text{dA}\text{dA}'`

         vaut dans notre cas:

:math:`{J}_{{{A}_{\text{nm}}}_{}}^{2}(\omega )=\underset{A}{\int}\underset{A}{\int}{e}^{-R\mid \theta -\theta '\mid /\lambda '}{e}^{-R\mid x-x'\mid /\lambda }\cos(\frac{\omega (x-x')}{{U}_{c}})x\cos\theta x'\cos\theta '\mathit{dxRd}\theta \mathit{dx}'\mathit{Rd}\theta '`

:math:`{J}_{{{A}_{\text{nm}}}_{}}^{2}(\omega )=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int}}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int}}{e}^{-R\mid \theta -\theta '\mid /\lambda '}\cos\theta \cos\theta '{R}^{2}d\theta d\theta '\underset{0}{\overset{H}{\int}}\underset{0}{\overset{H}{\int}}{e}^{-R\mid x-x'\mid /\lambda }\cos(\frac{\omega (x-x')}{{U}_{c}})xx'\text{dxdx}'`

     On donne dans le tableau ci après des valeurs de cette intégrale à l'aide de Python:


.. csv-table::

    ":math:`\omega (\mathrm{rad}/s)`", ":math:`{I}_{T}(\omega )`"
    "0.06283", "252.701 "
    "0.6283", "249.663"



Résultats de référence
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Résultat analytique.


Références bibliographique
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1.  ROUSSEAU G., LUU H.T. : Masse, amortissement et raideur ajoutés pour une structure vibrante placée dans un écoulement potentiel - Bibliographie et implantation dans le *Code_Aster*  - HP-61/95/064.


2.  BLEVINS R.D : Formulas for natural frequency and mode shape. Ed. Krieger 1984.


3.  ROUSSEAU G. Spécification du calcul d’acceptance dans le *Code_Aster* . Réponse spectrale de structures à une excitation turbulente aléatoire HP51/97/027/A