Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLL09/89 du guide VPCS qui présente la méthode de calcul de la façon suivante:

Calcul exact par intégration numérique de l'équation différentielle de la flexion des poutres (Théorie d'Euler-Bernouilli).

:math:`\frac{{\partial}^{2}({\mathit{EI}}_{z}\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}})}{\partial {x}^{2}}=-\rho A\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {t}^{2}}`

où :math:`{I}_{z}` et :math:`A` varient avec l'abscisse.

On obtient:

:math:`{f}_{i}=\frac{1}{2\pi }{\lambda}_{i}(\alpha ,\beta )\frac{{h}_{1}}{{L}^{2}}\sqrt{\frac{E}{12\rho }}`

avec:

:math:`\begin{array}{c}\alpha =\frac{{h}_{0}}{{h}_{1}}=4\\ \beta =\frac{{b}_{0}}{{b}_{1}}=4\mathit{ou}5\end{array}`


.. csv-table::

    "", ":math:`{\lambda}_{1}`", ":math:`{\lambda}_{2}`", ":math:`{\lambda}_{3}`", ":math:`{\lambda}_{4}`", ":math:`{\lambda}_{5}`"
    ":math:`\beta =4`", "23.289", "73.9", "165.23", "299.7", "478.1"
    ":math:`\beta =5`", "24.308", "75.56", "167.21", "301.9", "480.4"



Résultats de référence
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5 premiers modes propres de flexion.


Incertitude sur la solution
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Solution semi-analytique.


Références bibliographiques
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H.H. MABIE, C.B. ROGERS, Transverse vibrations of double-tapered cantilever beams- Journal of the Acoustical Society of America, n°51, p.1771-1774 (1972).