Solution de référence
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Méthode de calcul
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On se propose de calculer la fréquence propre de l’oscillateur, la réponse due à une excitation sinusoïdale et la réponse due à une excitation harmonique.


Calcul de la fréquence propre
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Pour la validation du calcul de la fréquence propre, nous considérons le système sans amortissement. Ainsi, le déplacement de l’extrémité libre du ressort est régi par la relation suivante:

:math:`M\ddot{x}+Kx=F`                                             (1)

La fréquence propre de cet oscillateur est:

:math:`{f}_{0}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{K}{M}}=\frac{{\omega}_{0}}{2\pi }`         (:math:`{f}_{0}` : fréquence propre, :math:`{\omega}_{0}` : pulsation propre)


Calcul de la réponse transitoire
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Pour la validation du calcul de la réponse transitoire, nous considérons le système sans amortissement.

Avec la condition initiale :math:`x(0)=0` et :math:`\dot{x}(0)=0` , si on applique une force sinusoïdale :math:`F(t)=F\sin(\Omega t)` , à l’extrémité libre du ressort, la solution de l’équation différentielle (1) est:

:math:`x(t)=\frac{F(\sin\Omega t-\frac{\Omega}{{\omega}_{0}}\sin{\omega}_{0}t)}{M({\omega}_{0}^{2}-{\Omega}^{2})}`

Pour ce calcul de réponse à une excitation sinusoïdale, nous avons choisi:    :math:`\Omega =1\mathit{rd}/s`  et :math:`F=1N` .


Calcul de la réponse harmonique
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On se propose ensuite de calculer la réponse de l’oscillateur amorti due à une excitation harmonique.

Le déplacement de l’extrémité libre du ressort est régi par la relation suivante:

:math:`M\ddot{x}+C\dot{x}+Kx=F`                                     (2)

En appliquant une force sinusoïdale :math:`F(t)=F\sin(\Omega t)` , à l’extrémité libre du ressort, et en adoptant la notation complexe, on obtient la réponse forcée:    :math:`\stackrel{ˆ}{x}(\Omega )=\frac{F}{K-{\Omega}^{2}M+jC}`

Pour ce calcul de la réponse forcée harmonique, nous avons choisi:    :math:`0.5{\omega}_{0}\le \Omega \le 1.5{\omega}_{0}`