Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- On calcule la réponse spectrale par superposition modale d’un système 2 masses – 4 ressorts soumis à trois excitations distinctes. On détermine le déplacement des masses aux nœuds :math:`\mathrm{NO2}` et :math:`\mathrm{NO4}` suivant l’axe :math:`x` . On calcule analytiquement: * les fréquences propres :math:`{f}_{i}` , * les vecteurs propres associés :math:`{\phi }_{{N}_{i}}` normalisés par rapport à la masse modale, * les modes statiques d’appuis :math:`{\Psi}_{i}` du système, * les facteurs de participation modale :math:`{P}_{ij}` relatif aux appuis, * :math:`{\mathrm{Rm}}_{ij}` le maximum de la réponse de chaque mode à partir des spectres d’excitation, * :math:`{R}_{ij}` la contribution du mouvement d’entraînement de chaque appui à partir des déplacements différentiels, Résultats de référence ---------------------- **2.2.1 Matrices et vecteurs caractéristiques** * **matrice de rigidité** :math:`K` :math:`K=\left[\begin{array}{ccccc}{k}_{1}& -{k}_{1}& 0& 0& 0\\ -{k}_{1}& {k}_{1}+{k}_{2}& -{k}_{2}& 0& 0\\ 0& -{k}_{2}& {k}_{2}+{k}_{3}& -{k}_{3}& 0\\ 0& 0& -{k}_{3}& {k}_{3}+{k}_{4}& -{k}_{4}\\ 0& 0& 0& -{k}_{4}& {k}_{4}\end{array}\right]` matrice relative aux degrés de liberté 1, 2, 3, 4, 5 :math:`{K}^{p}=\left[\begin{array}{ccccc}{k}_{1}+{k}_{2}& 0& -{k}_{1}& -{k}_{2}& 0\\ 0& {k}_{3}+{k}_{4}& 0& -{k}_{3}& -{k}_{4}\\ -{k}_{1}& 0& {k}_{1}& 0& 0\\ -{k}_{2}& -{k}_{3}& 0& {k}_{2}+{k}_{3}& 0\\ 0& -{k}_{4}& 0& 0& {k}_{4}\end{array}\right]` matrice partitionnée degrés de liberté de structure 2, 4, degrés de liberté de support 1, 3, 5 :math:`{K}^{p}=\left[\begin{array}{cc}k& {k}_{\mathrm{xs}}\\ {k}_{\mathrm{sx}}& {k}_{\mathrm{ss}}\end{array}\right]` :math:`k=\left[\begin{array}{cc}{k}_{1}+{k}_{2}& 0\\ 0& {k}_{3}+{k}_{4}\end{array}\right]` :math:`{k}_{\mathrm{xs}}=\left[\begin{array}{cccc}-{k}_{1}& 0& -{k}_{2}& 0\\ 0& -{k}_{3}& 0& -{k}_{4}\end{array}\right]` * **matrice de masse** :math:`M` :math:`M=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 0& {m}_{1}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& {m}_{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]` matrice relative aux degrés de liberté 1, 2, 3, 4, 5 :math:`{M}^{p}=\left[\begin{array}{ccccc}{m}_{1}& 0& 0& 0& 0\\ 0& {m}_{2}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]` matrice partitionnée degrés de liberté de structure 2, 4, degrés de liberté de support 1, 3, 5 * **calcul modal en base encastrée** :math:`(K-{\lambda}_{i}M){\phi }_{i}=0` avec :math:`{\lambda}_{i}={\omega}_{i}^{2}` :math:`\mathrm{dét}(K-{\lambda}_{i}M)=0\iff {\lambda}_{i}^{2}-(\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{{m}_{1}}+\frac{{k}_{3}+{k}_{4}}{{m}_{2}}){\lambda}_{i}+\frac{({k}_{1}+{k}_{2})({k}_{3}+{k}_{4})}{{m}_{1}{m}_{2}}=0` :math:`{\lambda}_{1}=\frac{2k}{m}` :math:`{\lambda}_{2}=\frac{4k}{m}` * fréquences propres: :math:`\Rightarrow` :math:`{f}_{1}=\frac{{\omega}_{1}}{2\pi }` :math:`{f}_{2}=\frac{{\omega}_{2}}{2\pi }` * modes propres non normés: :math:`{\phi }_{1}=\left[\begin{array}{}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]` :math:`{\phi }_{2}=\left[\begin{array}{}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]` * masses modales généralisées :math:`{\mu}_{i}={\phi }_{i}^{T}M{\phi }_{i}` : :math:`{\mu}_{1}={\mu}_{2}=m` * modes propres normés à la masse modale généralisée unitaire :math:`{\phi }_{\mathrm{Nk}}` : :math:`\Rightarrow` :math:`{\phi }_{\mathrm{N1}}=\frac{{\phi }_{1}}{\sqrt{{\mu}_{1}}}` :math:`{\phi }_{\mathrm{N2}}=\frac{{\phi }_{2}}{\sqrt{{\mu}_{2}}}` * **modes statiques d’appuis** :math:`{\Psi}_{\mathrm{Sj}}` Matrice des modes statiques réduite aux ddls de structure :math:`{\varphi}_{S}=-{k}^{-1}{k}_{\mathrm{xs}}` :math:`{\varphi}_{S}=\frac{-1}{4k}\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-k& -k& 0\\ 0& -2k& -2k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}& & 0\\ 0& & \end{array}\right]` * solution statique à un déplacement unitaire du nœud :math:`\mathrm{NO1}` : déplacements: :math:`{\Psi}_{\mathrm{S1}}=\left[\begin{array}{}1\\ \\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]` * solution statique à un déplacement unitaire du nœud :math:`\mathrm{NO3}` : déplacements: :math:`{\Psi}_{\mathrm{S2}}=\left[\begin{array}{}0\\ \\ 1\\ \\ 0\end{array}\right]` * solution statique à un déplacement unitaire du nœud :math:`\mathrm{NO5}` : déplacements: :math:`{\Psi}_{\mathrm{S3}}=\left[\begin{array}{}0\\ 0\\ 0\\ \\ 1\end{array}\right]` * **mode de corps rigide** :math:`{\psi}_{\mathrm{R1}}` Matrice des modes rigides réduite aux ddls de structure: :math:`{\varphi}_{R}={\varphi}_{S}{S}_{R}` Mode de corps rigide :math:`{\psi}_{\mathrm{R1}}=\left[\begin{array}{}1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]` On vérifie bien que: :math:`{\psi}_{\mathrm{R1}}={\Psi}_{\mathrm{S1}}+{\Psi}_{\mathrm{S2}}+{\Psi}_{\mathrm{S3}}` **2.2.2** Modélisation A: **Chargement 1 multi-appuis** * facteurs de participation modale :math:`{P}_{\mathrm{kj}}={\phi }_{\mathrm{Nk}}^{T}M{\Psi}_{j}` : * contribution du mode dynamique 1 au mouvement imposé au nœud :math:`\mathrm{NO1}` : :math:`\Rightarrow` :math:`{P}_{11}={\phi }_{\mathrm{N1}}^{T}M{\Psi}_{1}=\frac{\sqrt{m}}{2}` * contribution du mode dynamique 1 au mouvement imposé au nœud :math:`\mathrm{NO3}` : :math:`\Rightarrow` :math:`{P}_{12}={\phi }_{\mathrm{N1}}^{T}M{\Psi}_{2}=\frac{\sqrt{m}}{2}` * contribution du mode dynamique 1 au mouvement imposé au nœud :math:`\mathrm{NO5}` : :math:`\Rightarrow` :math:`{P}_{13}={\phi }_{\mathrm{N1}}^{T}M{\Psi}_{3}=0` * contribution du mode dynamique 2 au mouvement imposé au nœud :math:`\mathrm{NO1}` : :math:`\Rightarrow` :math:`{P}_{21}={\phi }_{\mathrm{N2}}^{T}M{\Psi}_{1}=0` * contribution du mode dynamique 2 au mouvement imposé au nœud :math:`\mathrm{NO3}` : :math:`\Rightarrow` :math:`{P}_{22}={\phi }_{\mathrm{N2}}^{T}M{\Psi}_{2}=\frac{\sqrt{m}}{2}` * contribution du mode dynamique 2 au mouvement imposé au nœud :math:`\mathrm{NO5}` : :math:`\Rightarrow` :math:`{P}_{23}={\phi }_{\mathrm{N2}}^{T}M{\Psi}_{3}=\frac{\sqrt{m}}{2}` * **réponse du mode** :math:`i` **au mouvement de l’appui** :math:`j` :math:`{\mathrm{Rm}}_{\mathrm{kj}}={\phi }_{\mathrm{Nk}}{P}_{\mathrm{kj}}\frac{{A}_{\mathrm{kj}}}{{\omega}_{i}^{2}}` Réponses combinées des oscillateurs modaux Réponse du mode 1 au mouvement de l’appui1 : :math:`{\mathrm{Rm}}_{11}={\phi }_{\mathrm{N1}}{P}_{11}\frac{{A}_{11}}{{\omega}_{1}^{2}}=\frac{{A}_{11}}{2{\omega}_{1}^{2}}(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array})` Réponse du mode 1 au mouvement de l’appui2 : :math:`{\mathrm{Rm}}_{12}={\phi }_{\mathrm{N1}}{P}_{12}\frac{{A}_{12}}{{\omega}_{1}^{2}}=\frac{{A}_{12}}{2{\omega}_{1}^{2}}(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array})` Réponse du mode 1 au mouvement de l’appui3 : :math:`{\mathrm{Rm}}_{13}={\phi }_{\mathrm{N1}}{P}_{13}\frac{{A}_{13}}{{\omega}_{1}^{2}}=(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array})` Réponse du mode 2 au mouvement de l’appui1 : :math:`{\mathrm{Rm}}_{21}={\phi }_{\mathrm{N2}}{P}_{21}\frac{{A}_{21}}{{\omega}_{2}^{2}}=(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array})` Réponse du mode 2 au mouvement de l’appui2 : :math:`{\mathrm{Rm}}_{22}={\phi }_{\mathrm{N2}}{P}_{22}\frac{{A}_{22}}{{\omega}_{2}^{2}}=\frac{{A}_{22}}{2{\omega}_{2}^{2}}(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array})` Réponse du mode 2 au mouvement de l’appui3 : :math:`{\mathrm{Rm}}_{23}={\phi }_{\mathrm{N2}}{P}_{23}\frac{{A}_{23}}{{\omega}_{2}^{2}}=\frac{{A}_{23}}{2{\omega}_{2}^{2}}(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array})` * **cumul intra-groupe (somme algébrique)** mode 1: :math:`{\mathrm{Rm}}_{\mathrm{1groupe1}}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}=\frac{{A}_{11}+{A}_{12}}{2{\omega}_{1}^{2}}(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array})` mode 2: :math:`{\mathrm{Rm}}_{\mathrm{2groupe1}}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}=\frac{{A}_{22}}{2{\omega}_{2}^{2}}(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array})` * **contribution de l’appui** :math:`j` **au mouvement d’entraînement** :math:`{R}_{j}={\Psi}_{j}{D}_{j}` contributions des groupes 1 et 2 au mouvement d’entraînement :math:`{R}_{\mathrm{groupe1}}={R}_{1}+{R}_{2}=\frac{1}{2}(\begin{array}{c}{D}_{1}+{D}_{2}\\ {D}_{2}\end{array})` :math:`{R}_{\mathrm{groupe2}}={R}_{3}=\frac{1}{2}(\begin{array}{c}0\\ {D}_{3}\end{array})` * **cumul sur les modes (quadratique)** :math:`{\mathit{Rm}}_{\mathit{groupe}1}=\sqrt{{({\mathit{Rm}}_{11}+{\mathit{Rm}}_{12})}^{2}+{({\mathit{Rm}}_{21}+{\mathit{Rm}}_{22})}^{2}}=\left(\begin{array}{c}\frac{{A}_{11}+{A}_{12}}{2{\omega}_{1}^{2}}\\ \frac{{A}_{22}}{2{\omega}_{2}^{2}}\end{array}\right)` :math:`{\mathrm{Rm}}_{\mathrm{groupe2}}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{13}^{2}+{\mathrm{Rm}}_{23}^{2}}=\frac{{A}_{23}}{2{\omega}_{2}^{2}}(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array})` * **réponse des groupes d’appuis 1 et 2** :math:`{R}_{1}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{\mathrm{groupe1}}^{2}+{R}_{\mathrm{groupe1}}^{2}}` :math:`{R}_{1}^{2}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c}\frac{{({A}_{11}+{A}_{12})}^{2}}{{\omega}_{1}^{2}}+{({D}_{1}+{D}_{2})}^{2}\\ \frac{{A}_{22}^{2}}{{\omega}_{2}^{2}}+{D}_{2}^{2}\end{array}\right]` :math:`{R}_{2}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{\mathrm{groupe2}}^{2}+{R}_{\mathrm{groupe2}}^{2}}` :math:`{R}_{2}^{2}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{{A}_{23}^{2}}{{\omega}_{2}^{2}}+{D}_{3}^{2}\end{array}\right]` * **cumul inter-groupe (quadratique)** :math:`R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}` :math:`{R}^{2}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c}\frac{{({A}_{11}+{A}_{12})}^{2}}{{\omega}_{1}^{2}}+{({D}_{1}+{D}_{2})}^{2}\\ \frac{{A}_{22}^{2}+{A}_{23}^{2}}{{\omega}_{2}^{2}}+{D}_{2}^{2}+{D}_{3}^{2}\end{array}\right]` **2.2.** 3 **M** odélisation B Il est noté ici que, seule la réponse au DDS est considérée pour valider les règles de combinaison à employer dans cette modélisation B. * **contribution de l’appui** :math:`j` **au mouvement d’entraînement** :math:`{R}_{j}={\Psi}_{j}{D}_{j}` :math:`{R}_{e1}={\Psi}_{S1}{D}_{1}=\left[\begin{array}{c}{D}_{1}\\ \raisebox{1ex}{{D}_{1}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]` :math:`{R}_{e2}={\Psi}_{S2}{D}_{1}=\left[\begin{array}{c}0\\ \raisebox{1ex}{{D}_{1}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ {D}_{1}\\ \raisebox{1ex}{{D}_{1}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ 0\end{array}\right]` :math:`{R}_{e3}={\Psi}_{S3}{D}_{2}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \raisebox{1ex}{{D}_{2}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ {D}_{2}\end{array}\right]` **et aux réactions d’appuis:** :math:`{F}_{1}=k{D}_{1}\left[\begin{array}{c}\raisebox{1ex}{1}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ 0\\ \raisebox{1ex}{-1}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ 0\\ 0\end{array}\right]` :math:`{F}_{2}=k{D}_{1}\left[\begin{array}{c}\raisebox{1ex}{-1}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ 0\\ \raisebox{1ex}{3}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ 0\\ -1\end{array}\right]` :math:`{F}_{3}=k{D}_{2}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right]` Dans cette modélisation B, le cumul des groupes décorrélés d’appuis avec DDS égaux est présenté dans le calcul 1 où le cumul intra-groupe esten valeur absolueet le cumul inter-groupe est quadratique. La combinaison en valeur absolue pour le cumul intra-groupe est ici utilisée car les déplacements différentiels aux appuis sont non-signés. A titre contre-exemplaire, les calculs 2 et 3 sont également établis où les cumuls intra-groupe et inter-groupe sont respectivement linéaire et quadratique. * Calcul 1:Combinaison des groupes décorrélés d’appuis avec DDS intra-groupe égaux: :math:`{R}_{e}=\sqrt{{(\left|{R}_{e1}\right|+\left|{R}_{e2}\right|)}^{2}+{({R}_{e3})}^{2}}=\left[\begin{array}{c}\left|{D}_{1}\right|\\ \left|{D}_{1}\right|\\ \left|{D}_{1}\right|\\ \sqrt{{(\raisebox{1ex}{{D}_{1}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.)}^{2}+{(\raisebox{1ex}{{D}_{2}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.)}^{2}}\\ \left|{D}_{2}\right|\end{array}\right]` :math:`F=\sqrt{{(\left|{F}_{1}\right|+\left|{F}_{2}\right|)}^{2}+{({F}_{3})}^{2}}=k\left[\begin{array}{c}\left|{D}_{1}\right|\\ 0\\ \sqrt{{(2{D}_{1})}^{2}+{({D}_{2})}^{2}}\\ 0\\ \sqrt{{({D}_{1})}^{2}+{({D}_{2})}^{2}}\end{array}\right]` * Calcul 2:C **ombinaison** linéaire intra-groupe et inter-groupe :math:`{R}_{e}={R}_{e1}+{R}_{e2}+{R}_{e3}=\left[\begin{array}{c}{D}_{g1}\\ {D}_{1}\\ {D}_{1}\\ \raisebox{1ex}{({D}_{1}+{D}_{2})}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ {D}_{2}\end{array}\right]` :math:`F={F}_{1}+{F}_{2}+{F}_{3}=k\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {D}_{1}\\ 0\\ -({D}_{1}+{D}_{2})\end{array}\right]` * Calcul 3:C **ombinaison** quadratique intra-groupe et inter-groupe :math:`{R}_{e}=\sqrt{{({R}_{e1})}^{2}+{({R}_{e2})}^{2}+{({R}_{e3})}^{2}}=\left[\begin{array}{c}\left|{D}_{1}\right|\\ \raisebox{1ex}{\left|{D}_{1}\right|}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ \left|{D}_{1}\right|\\ \sqrt{{(\raisebox{1ex}{{D}_{1}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.)}^{2}+{(\raisebox{1ex}{{D}_{2}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.)}^{2}}\\ \left|{D}_{2}\right|\end{array}\right]` :math:`F=\sqrt{{({F}_{1})}^{2}+{({F}_{2})}^{2}+{({F}_{3})}^{2}}=k\left[\begin{array}{c}\raisebox{1ex}{\left|{D}_{1}\right|}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{\sqrt{2}}\right.\\ 0\\ \sqrt{\raisebox{1ex}{{(\sqrt{10}{D}_{1})}^{2}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{4}\right.+{({D}_{2})}^{2}}\\ 0\\ \sqrt{{({D}_{1})}^{2}+{({D}_{2})}^{2}}\end{array}\right]` **2.2.** 4 **M** odélisation C La modélisation C consiste à tester les options de sorties pour un calcul modal spectral en multi-appui corrélé, c’est-à-dire, tous les appuis corrélés entre eux. Ainsi, un seul groupe d’appui est formé. Toutes les contributions des appuis sont combinées en LINE par défaut. Le cumul modal est effectué par la règle SRSS. Le chargement sismique consiste en trois spectres en VITE, qui sont convertis des spectres en ACCE dans les modélisations A et B en les divisant par les pulsations associées aux deux modes :math:`{f}_{1}=2.25079` Hz et :math:`{f}_{1}=3.1831` Hz. Les valeurs numériques sont les suivantes: au nœud :math:`\mathit{NO}1` : :math:`{\mathit{SRO}}_{\mathit{NO}1}^{\mathit{VITE}}({f}_{1})={A}_{11}/(2\pi {f}_{1})=7/(2\pi 2.25079)m/s` :math:`{\mathit{SRO}}_{\mathit{NO}1}^{\mathit{VITE}}({f}_{2})={A}_{21}/(2\pi {f}_{2})=5/(2\pi 3.1831)m/s` au nœud :math:`\mathit{NO}3` : :math:`{\mathit{SRO}}_{\mathit{NO}3}^{\mathit{VITE}}({f}_{1})={A}_{12}/(2\pi {f}_{1})=7.7/(2\pi 2.25079)m/s` :math:`{\mathit{SRO}}_{\mathit{NO}3}^{\mathit{VITE}}({f}_{2})={A}_{22}/(2\pi {f}_{2})=5.5/(2\pi 3.1831)m/s` au nœud :math:`\mathit{NO}5` : :math:`{\mathit{SRO}}_{\mathit{NO}5}^{\mathit{VITE}}({f}_{1})={A}_{13}/(2\pi {f}_{1})=12/(2\pi 2.25079)m/s` :math:`{\mathit{SRO}}_{\mathit{NO}5}^{\mathit{VITE}}({f}_{2})={A}_{23}/(2\pi {f}_{2})=6/(2\pi 3.1831)m/s` **Solution analytique des réponses en déplacement (** DEPL **):** La réponse du mode 1: :math:`{\mathit{Rm}}_{1}={\mathit{Rm}}_{11}+{\mathit{Rm}}_{12}+{\mathit{Rm}}_{13}=\frac{1}{2{\omega}_{1}^{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ {A}_{11}+{A}_{12}\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]` La réponse du mode 2: :math:`{\mathit{Rm}}_{2}={\mathit{Rm}}_{21}+{\mathit{Rm}}_{22}+{\mathit{Rm}}_{23}=\frac{1}{2{\omega}_{2}^{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ {A}_{22}+{A}_{23}\\ 0\end{array}\right]` La réponse dynamique totale par cumul quadratique de deux modes : :math:`\mathit{Rm}=\sqrt{{\mathit{Rm}}_{1}^{2}+{\mathit{Rm}}_{2}^{2}}=\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{\left|{A}_{11}+{A}_{12}\right|}{2{\omega}_{1}^{2}}\\ 0\\ \frac{\left|{A}_{22}+{A}_{23}\right|}{2{\omega}_{2}^{2}}\\ 0\end{array}\right]` **Des réponses en réactions aux supports: (REAC_NODA):** La réponse du mode 1: :math:`{F}_{1}=K({\mathit{Rm}}_{11}+{\mathit{Rm}}_{12}+{\mathit{Rm}}_{13})=\left[\begin{array}{c}-{k}_{1}\frac{{A}_{11}+{A}_{12}}{2{\omega}_{1}^{2}}\\ 0\\ -{k}_{2}\frac{{A}_{11}+{A}_{12}}{2{\omega}_{1}^{2}}\\ 0\\ 0\end{array}\right]` La réponse du mode 2: :math:`{F}_{2}=K({\mathit{Rm}}_{21}+{\mathit{Rm}}_{22}+{\mathit{Rm}}_{23})=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -{k}_{3}\frac{{A}_{22}+{A}_{23}}{2{\omega}_{2}^{2}}\\ 0\\ -{k}_{4}\frac{{A}_{22}+{A}_{23}}{2{\omega}_{2}^{2}}\end{array}\right]` La réponse dynamique totale par cumul quadratique de deux modes : :math:`F=\sqrt{{F}_{1}^{2}+{F}_{2}^{2}}=\left[\begin{array}{c}\frac{{k}_{1}\left|{A}_{11}+{A}_{12}\right|}{2{\omega}_{1}^{2}}\\ 0\\ \sqrt{{(\frac{{k}_{1}\left|{A}_{11}+{A}_{12}\right|}{2{\omega}_{1}^{2}})}^{2}+{(\frac{{k}_{4}\left|{A}_{22}+{A}_{23}\right|}{2{\omega}_{2}^{2}})}^{2}}\\ 0\\ \frac{{k}_{4}\left|{A}_{22}+{A}_{23}\right|}{2{\omega}_{2}^{2}}\end{array}\right]` Incertitude sur la solution --------------------------- Aucune (solution analytique)