Solution de référence ===================== La solution de référence est analytique, et obtenue comme suit. On notera par la suite :math:`u={u}_{x}` . L’équation dans le repère relatif du mouvement de :math:`{P}_{2}` s’écrit: (2-1) :math:`m\ddot{u}+c\dot{u}+ku=-m\ddot{{u}_{e}}(t)` Le chargement est appliqué à l’aide de la commande AFFE_CHAR_SEISME. La fonction multiplicatrice FONC_MULT associée définit l’accélération d’entraînement, comme: (2-2) :math:`\ddot{{u}_{e}}(t)={A}_{e}\sin({\omega}_{e}t)` Le problème à résoudre s’écrit donc: (2-3) :math:`m\ddot{u}+c\dot{u}+ku=-m{A}_{e}\sin({\omega}_{e}t)` Soit, en définissant les quantités réduites :math:`{\omega}_{0}^{2}=\frac{k}{m}` et :math:`\xi =\frac{c}{2m{\omega}_{0}}` : (2-4) :math:`\ddot{u}+2{\omega}_{0}\xi \dot{u}+{\omega}_{0}^{2}u=-{A}_{e}\sin({\omega}_{e}t)` avec les conditions initiales: (2-5) :math:`u(0)=0` (2-6) :math:`\dot{u}(0)=0` On cherche une solution particulière à () sous la forme: (2-7) :math:`\stackrel{~}{u}(t)=D\sin({\omega}_{e}t+\varphi )` On pose: (2-8) :math:`\stackrel{~}{U}(t)=D{e}^{i({\omega}_{e}t+\varphi )}` On a alors :math:`\stackrel{~}{u}(t)=\mathrm{\Im }(\stackrel{~}{U}(t))` (partie imaginaire). Soit l’équation différentielle complexe: (2-9) :math:`\ddot{\stackrel{~}{U}}+2{\omega}_{0}\xi \dot{\stackrel{~}{U}}+{\omega}_{0}^{2}\stackrel{~}{U}=-{A}_{e}{e}^{i({\omega}_{e}t)}` Si :math:`\stackrel{~}{U}` est solution de (), alors est solution de (). En injectant l’expression () dans (), on trouve: (2-10) :math:`(-{\omega}_{\mathit{ex}}^{2}+2i{\omega}_{0}{\omega}_{e}\xi +{\omega}_{0}^{2})B{e}^{i\varphi }=-{A}_{e}` d’où l’on peut déterminer les paramètres :math:`D` et :math:`\varphi` de l’expression (): (2-11) :math:`D=\left|\frac{{A}_{e}}{{\omega}_{0}^{2}-{\omega}_{e}^{2}+2i{\omega}_{0}{\omega}_{e}\xi }\right|=\frac{{A}_{e}}{\sqrt{{\left({\omega}_{0}^{2}-{\omega}_{e}^{2}\right)}^{2}+{\left(2{\omega}_{0}{\omega}_{e}\xi \right)}^{2}}}` (2-12) :math:`\varphi =\mathit{arg}\left(-\frac{{A}_{e}}{{\omega}_{0}^{2}-{\omega}_{e}^{2}+2i{\omega}_{0}{\omega}_{e}\xi }\right)=\mathit{arg}\left({\omega}_{e}^{2}-{\omega}_{0}^{2}+2i{\omega}_{0}{\omega}_{e}\xi \right)=\mathit{atan}2\left(\frac{2{\omega}_{0}{\omega}_{e}\xi }{{\omega}_{e}^{2}-{\omega}_{0}^{2}}\right)` La solution générale du problème s’écrit alors classiquement comme la somme de la solution particulière et de la solution homogène d’une équation différentielle d’ordre 2 à coefficients constants (voir par exemple [ :ref:`1 ` ]: (2-13) :math:`u(t)={e}^{-\xi {\omega}_{0}t}\left(A\cos({\omega}_{\xi}t)+B\sin({\omega}_{\xi}t)\right)+D\sin({\omega}_{e}t)` avec: (2-14) :math:`{\omega}_{\xi}={\omega}_{0}\sqrt{1-{\xi}^{2}}` Les conditions initiales () et () donnent respectivement: :math:`A+D\sin(\varphi )=0` :math:`{\omega}_{0}\left(-\xi A+B\sqrt{1-{\xi}^{2}}\right)+{\omega}_{e}D\cos(\varphi )=0` D’où l’on peut déduire: (2-15) :math:`A=-D\sin(\varphi )` (2-16) :math:`B=-\frac{{\omega}_{e}D\cos\varphi }{{\omega}_{0}\sqrt{1-{\xi}^{2}}}+\frac{\xi D\sin(\varphi )}{\sqrt{1-{\xi}^{2}}}=-\frac{D}{\sqrt{1-{\xi}^{2}}}\left(\frac{{\omega}_{e}}{{\omega}_{0}}\cos(\varphi )+\xi \sin(\varphi )\right)` La solution analytique s’écrit donc comme () où :math:`A` , :math:`B` , :math:`D` , :math:`{\omega}_{\xi}` et :math:`\varphi` sont donnés respectivement par (), (), (), () et (). Résultats de référence ---------------------- Pour ce cas test, on choisit une pulsation d’excitation du signal harmonique :math:`{\omega}_{e}=2{s}^{-1}` , :math:`\xi =0,05` et :math:`{A}_{e}=1m.{s}^{-2}` . Compte-tenu des paramètres du problèmes, la fréquence propre est :math:`{\omega}_{0}=1{s}^{-1}` . On teste les valeurs du déplacement relatif :math:`{u}_{x}` aux points :math:`{P}_{2}` et :math:`{P}_{3}` à :math:`t=10s` : .. csv-table:: "", "Déplacement à :math:`t=10s`" "Nœud", ":math:`\mathit{DX}`" ":math:`N2` (point :math:`{P}_{2}` )", "0.538736" ":math:`N3` (point :math:`{P}_{3}` )", "0.538736" Incertitude sur la solution --------------------------- Précision sur l'intégration en temps dans DYNA_NON_LINE