Modèle d'amortissement visqueux =============================== Le modèle d'amortissement visqueux est le plus couramment utilisé. Il correspond à la modélisation d'une énergie dissipée proportionnelle à la vitesse vibratoire : :math:`{E}_{d}=\frac{1}{2}{v}^{T}\text{Cv}=\frac{1}{2}{u}^{T}\text{Cu}` où :math:`C` est la matrice d'amortissement visqueux, à coefficients réels. Il conduit aux équations classiques de la dynamique des structures : :math:`\text{Mu}+\text{Cu}+\text{Ku}=f(t)` avec :math:`K` matrice de rigidité et :math:`M` matrice de masse. Amortissement visqueux proportionnel "global", ou de Rayleigh ------------------------------------------------------------- Cette modélisation, facile à mettre en œuvre, correspond à une combinaison linéaire des matrices de masse et de raideur : :math:`C=\alpha K+\beta M` Elle est disponible actuellement, en utilisant les opérateur DEFI_MATERIAU [:ref:`U4.43.01 §3.1`] et ASSEMBLAGE(OPTION='AMOR_MECA') [:ref:`U4.61.21`]. On peut aussi employer COMB_MATR_ASSE [:ref:`U4.72.01`], après avoir assemblé les matrices de rigidité et de masse à coefficients réels. L'option SANS_CMP='LAGR' doit être utilisée lors de la combinaison des matrices afin de préserver les conditions aux limites du système (imposées par des relations de Lagrange dans la matrice de rigidité). Cette approche permet la validation d'algorithmes de résolution, Elle n'est pas réaliste pour les études industrielles, car elle ne permet pas de représenter l'hétérogénéité de la structure par rapport à l'amortissement (dissipation aux appuis ou aux assemblages). De plus l'identification globale des coefficients :math:`\alpha` et :math:`\beta` n'est possible, en analyse modale expérimentale, que pour deux fréquences propres :math:`\left[{f}_{1},{f}_{2}\right]` distinctes; elle donne, pour les fréquences propres :math:`\omega \notin \left[{\omega}_{1},{\omega}_{2}\right]` avec :math:`\omega =2\pi f` , une loi d'évolution de l'amortissement réduit de la forme (voir [:ref:`R5.05.04`]) : :math:`2\xi =\alpha \omega +\frac{\beta}{\omega}` Pour les éléments discrets, les paramètres d'amortissement de Rayleigh n'étant pas définissables dans l'opérateur AFFE_CARA_ELEM, si l'on souhaite tenir compte de la contribution de ces éléments dans la matrice d'amortissement globale de Rayleigh, il faut obligatoirement passer par la méthode d'assemblage de cette matrice avec l'opérateur COMB_MATR_ASSE. Sans procéder ainsi, la matrice d'amortissement globale ne tiendra compte que de la contribution des éléments volumiques, surfaciques ou de type poutre. Si on utilise l'opérateur DYNA_NON_LINE, l'amortissement de Rayleigh ne tient donc pas compte de la contribution des éléments discrets. Amortissement visqueux proportionnel aux éléments du modèle ----------------------------------------------------------- Caractéristiques d'amortissement ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Il est possible de construire une matrice d'amortissement à partir de chaque élément du modèle, comme pour la rigidité et la masse. Plusieurs fonctionnalités sont utilisables : * l'affectation d'éléments discrets, sur des mailles POI1 ou SEG2, par l'opérateur AFFE_CARA_ELEM [:ref:`U4.42.01`]. Celui-ci permet de définir, avec plusieurs modes de description possibles, une matrice d'amortissement pour chaque degré de liberté. * la définition d'une caractéristique d'amortissement pour tout matériau élastique par l'opérateur DEFI_MATERIAU [:ref:`U4.43.01`] en renseignant les mots clefs ``AMOR_ALPHA`` Ce matériau est ensuite affecté aux mailles concernées. Calcul des matrices d'amortissement ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Pour tous les types d'éléments finis (de milieux continus, structuraux ou discrets), il est possible de calculer les matrices élémentaires réelles correspondant à l'option de calcul ``AMOR_MECA``, après avoir calculé les matrices élémentaires correspondantes aux options de calcul ``RIGI_MECA`` et ``MASS_MECA`` ou ``MASS_MECA_DIAG``, les matrices élémentaires sont alors de la forme : * quand le matériau :math:`i`, de caractéristiques d'amortissement visqueux proportionnel :math:`({\alpha}_{i},{\beta}_{i})`, est affecté à un élément :math:`C_{elem} = \alpha_{i} K_{elem} + \beta_{i} M_{elem}` * pour un élément discret :math:`C_{elem} = A_{elem}`. Lorsque le discret est de type ``DIS_CHOC`` (donc définit avec une raideur de pénalisation), il est également possible de lui affecter un amortissement qui ne sera pris en compte que lorsqu'il y aura contact [:ref:`R5.03.17`]. Cette opération est possible avec la commande CALC_MATR_ELEM [:ref:`U4.61.01`] avec l'option ``AMOR_MECA``. L'assemblage de toutes les matrices élémentaires d'amortissement est obtenu avec l'opérateur ASSE_MATRICE habituel [:ref:`U4.61.22`]. On notera que l'on doit utiliser les mêmes numérotations et le même mode de stockage que pour les matrices de rigidité et de masse (opérateur NUME_DDL [:ref:`U4.61.11`]). On peut aussi rappeler que l'usage de la macro-commande ASSEMBLAGE [:ref:`U4.61.21`] permet de rassembler avantageusement ces étapes. On remarque que la matrice d'amortissement obtenue peut être non proportionnelle : :math:`C\ne \alpha K+\beta M` Utilisation de la matrice d'amortissement visqueux ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La matrice :math:`C` est : * utilisable pour l'analyse dynamique linéaire directe (mot-clé MATR_AMOR) avec les opérateurs de réponse dynamique linéaire. * indispensable pour l'analyse modale complexe avec l'opérateur de recherche des valeurs propres. Pour les analyses en base modale, on doit projeter cette matrice dans le sous-espace défini par un ensemble :math:`\Phi` de modes propres réels. Cette opération est possible avec l'opérateur PROJ_MATR_BASE [:ref:`U4.63.12`]. Notons que dans le cas général (:math:`C` non proportionnelle), la matrice projetée n'est pas diagonale. Elle reste néanmoins utilisable (mot-clé AMOR_GENE) pour le calcul de la réponse dynamique en force ou en mouvement imposé dans l'espace modal, avec l'opérateur de réponse dynamique linéaire : * Transitoire, Harmonique : DYNA_VIBRA [:ref:`U4.53.03`] * Analyse modale complexe : CALC_MODES [:ref:`U4.52.02`] Utilisation de l'amortissement modal visqueux ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Pour les analyses en base modale de modes propres réels, l'équation différentielle dynamique en coordonnées généralisées : :math:`{\ddot{q}}_{i}+2{\xi}_{i}{\omega}_{i}{\dot{q}}_{i}+{\omega}_{i}^{2}{q}_{i}=\frac{{\Phi}_{i}^{T}}{{\mu}_{i}}f(t)` fait apparaître un cœfficient d'amortissement modal :math:`{\xi}_{i}` exprimé comme une fraction de l'amortissement critique et la masse généralisée du mode :math:`{\mu}_{i}` , qui dépend du mode de normalisation du mode propre. Dans le cas d'une matrice d'amortissement :math:`C` strictement proportionnelle, les cœfficients :math:`{\xi}_{i}` se déduisent des termes diagonaux de la matrice d'amortissement généralisée :math:`{\Phi}^{T}C\Phi` par : :math:`2{\xi}_{i}{\omega}_{i}=\frac{{\Phi}_{i}^{T}C{\Phi}_{i}}{{\Phi}_{i}^{T}M{\Phi}_{i}}` et dans le cas de modes propres normés à la masse modale unitaire :math:`2{\xi}_{i}{\omega}_{i}={\Phi}_{i}^{T}C{\Phi}_{i}` On peut utiliser cette relation dans le cas d'une matrice d'amortissement :math:`C` non proportionnelle, en appliquant l'hypothèse de BASILE, qui est acceptable pour des amortissements faibles (notamment s'il n'y a pas d'amortissement localisé dominant) et des modes propres réels suffisamment découplés. Les cœfficients d'amortissement modaux peuvent être fournis par commande (mot clé AMOR_REDUIT) à deux opérateurs pour : * Analyse transitoire dans l'espace modal : DYNA_VIBRA [:ref:`U4.53.03`] * Analyse transitoire dans l'espace physique : DYNA_VIBRA [:ref:`U4.53.03`] * Analyse sismique par spectre d'oscillateur : COMB_SISM_MODAL [:ref:`U4.84.01`] Notons qu'il n'existe aucun outil d'extraction automatique de ces coefficients, à partir de la matrice d'amortissement généralisée :math:`{\Phi}^{T}C\Phi` , concept produit par l'opérateur PROJ_MATR_BASE [:ref:`U4.63.12`].