Généralités =========== L'approche classique est l'approche historique pour la mécanique de la rupture. Elle a été initialement développée dans le cadre de l'élasticité linéaire, puis étendue à l'élasticité non-linéaire. Mécanique élastique linéaire de la rupture en quasi-statique ------------------------------------------------------------ Ce paragraphe rappelle les paramètres caractéristiques en mécanique élastique linéaire de la rupture. Facteurs d'intensité des contraintes ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Les facteurs d'intensité des contraintes caractérisent la singularité des contraintes en pointe de fissure. Leur expression générale est de la forme: :math:`K=\underset{r\to 0}{\lim}\sigma (r)\sqrt{r}` . Trois facteurs d'intensité des contraintes sont définis, associés aux trois modes d'ouverture de la fissure. En élasticité linéaire, les facteurs d'intensité des contraintes permettent de décomposer le champ de déplacement :math:`\mathrm{u}` en une partie singulière et une partie régulière :ref:`[1] ` :ref:`[6] ` : :math:`u={u}_{R}+{K}_{I}{u}_{S}^{I}+{K}_{\mathit{II}}{u}_{S}^{\mathit{II}}+{K}_{\mathit{III}}{u}_{S}^{\mathit{III}}` . Taux de restitution d'énergie ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ On considère un solide élastique fissuré occupant le domaine :math:`\Omega` . Soient: :math:`\mathrm{u}` le champ de déplacement, :math:`T` le champ de température, :math:`\mathrm{f}` le champ de forces volumiques appliquées sur :math:`\Omega` , :math:`\mathrm{g}` le champ de forces surfaciques appliquées sur une partie :math:`S` de :math:`\partial \Omega` , :math:`U` le champ de déplacements imposés sur une partie :math:`{S}_{d}` de :math:`\partial \Omega` . :math:`\sigma` le tenseur des contraintes, :math:`\varepsilon` le tenseur des déformations, :math:`{\varepsilon}^{\mathrm{th}}` le tenseur des déformations d’origine thermique, :math:`\psi (\varepsilon ,T)` la densité d'énergie libre. Le taux de restitution d'énergie :math:`G` correspond à l’approche énergétique de la rupture de Griffith :ref:`[5] ` . Il est défini par l'opposé de la dérivée de l'énergie potentielle à l’équilibre :math:`W(u)` par rapport au domaine :math:`\Omega` : :math:`G=\frac{-\partial W(u)}{\partial \Omega }` avec: :math:`W(\mathrm{u})=\underset{\Omega}{\int}\psi (\varepsilon (\mathrm{u}),T)d\Omega -\underset{\Omega}{\int}\mathrm{f}\mathrm{u}d\Omega -\underset{S}{\int}\mathrm{g}\mathrm{u}d\Gamma` On rappelle que le taux de restitution d'énergie est équivalent à l'intégrale de Rice en élasticité linéaire :ref:`[4] ` . En élasticité linéaire plane, les coefficients d'intensité de contraintes sont reliés au taux de restitution d'énergie par la formule d'Irwin: :math:`G=\frac{1-{\nu}^{2}}{E}({K}_{I}^{2}+{K}_{\mathit{II}}^{2})` en déformations planes :math:`G=\frac{1}{E}({K}_{I}^{2}+{K}_{\mathit{II}}^{2})` en contraintes planes :math:`G=\frac{1-{\nu}^{2}}{E}({K}_{I}^{2}+{K}_{\mathrm{II}}^{2})+\frac{{K}_{\mathrm{III}}^{2}}{2\mu }` avec :math:`\mu =\frac{E}{2(1+\nu )}` , en 3D Extension à l'élasticité non-linéaire ------------------------------------- Les définitions précédentes ne sont rigoureuses qu’en thermoélasticité linéaire mais des extensions sont possibles aux problèmes non linéaires. En particulier, il est possible de définir et de calculer le taux de restitution d'énergie en élasticité non linéaire, à condition que le chargement reste radial et monotone.