Capacités de modélisation
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Rappel de la formulation
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Géométrie des éléments tuyaux
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Nous rappelons ici les méthodes et les modélisations mises en œuvre pour les éléments tuyaux et qui sont présentées dans le document de référence [:ref:`R3.08.06 <R3.08.06>`].

Pour les éléments tuyaux on définit une fibre moyenne, droite ou courbe (:math:`x`  définit la coordonnée curviligne) et une section creuse de type circulaire. Cette section doit être petite par rapport à la longueur de la tuyauterie. La figure [:ref:`Figure 2.1.1-a <Figure 2.1.1-a>`] illustre les deux différentes configurations. Un repère local :math:`\mathit{oxyz}` est associé à la fibre moyenne.


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    :height: 200


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.. _Ref491487592:

**Figure** 2.1.1-a: **Tuyau droit ou courbe.**




Formulation des éléments tuyaux
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La cinématique du tuyau [Figure] se compose d'une cinématique de coque qui apporte la description de l'ovalisation, du gonflement et du gauchissement, et d'une cinématique de poutre qui décrit le mouvement d'ensemble de la ligne de tuyauterie. Le déplacement :math:`U` [Figure] d’un point matériel du tuyau se compose d’une partie macroscopique poutre (:math:`{U}^{P}` ) et d’une partie supplémentaire locale coque (:math:`{U}^{S}` ): :math:`U={U}^{P}+{U}^{S}`


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**Figure** 2.1.2-a: **Décomposition du déplacement en champs de poutre et de coque.**

La formulation des éléments reposesur :


*   La **théorie des poutres** pour la cinématique de la fibre moyenne. Si on fait l’hypothèse complète de la théorie des poutres : les sections droites associées aux déplacements de poutre (:math:`{U}^{P}` ), qui sont perpendiculaires à la **fibre moyenne**  de référence [:ref:`Figure 2.1.2-b <Figure 2.1.2-b>`] restent perpendiculaires à la fibre moyenne après déformation. La section droite ne se déforme pas. Ceci sera vrai en moyenne dans l’élément TUYAU. On n’utilise la théorie des poutres que pour décrire le mouvement de la fibre moyenne: la fibre moyenne du tuyau est équivalente à la fibre moyenne d’une poutre. Cette cinématique permet de décrire le mouvement d'ensemble de la ligne de tuyauterie.


*   La **théorie des coques** pour décrire la déformation des sections transverse autour de la fibre moyenne. Cinématique des sections transverses : les sections droites qui sont perpendiculaires à la **surface moyenne**  de référence restent droites. Les points matériels situés sur la normale à la surface moyenne non déformée restent sur une droite dans la configuration déformée. La formulation utilisée est une formulation de type LOVE-KIRCHHOFF sans cisaillement transverse pour la description du comportement des sections transverses. L'épaisseur de la coque reste constante. La surface moyenne :math:`\omega` du tuyau, située à mi-épaisseur, est équivalente à la surface moyenne d’une coque. Cette cinématique de coque apporte la description du gonflement, de l'ovalisation et du gauchissement de la section transversale.


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.. _Ref491492368:


.. _Ref491767265:

**Figure** 2.1.2-b **:Fibre et surface moyenne dans le cas d’un tuyau droit.**

Les déplacements supplémentaires (:math:`{U}^{s}` ) de la surface du tuyau sont approximés par une série de Fourier jusqu'à l'ordre :math:`M` (:math:`M=3`  pour la modélisation TUYAU_3M et :math:`M=6` pour la modélisation TUYAU_6M).

:math:`{u}^{s}(x,\Phi )=\sum_{m=2}^{M}{u}_{m}^{i}(x)\cosm\Phi +\sum_{m=2}^{M}{u}_{m}^{0}(x)\sinm\Phi`

:math:`{v}^{s}(x,\Phi )={w}_{1}^{i}(x)\sin\Phi +\sum_{m=2}^{M}{v}_{m}^{i}(x)\sinm\Phi -{w}_{1}^{0}(x)\cos\Phi +\sum_{m=2}^{M}{v}_{m}^{0}(x)\cosm\Phi`

:math:`{w}^{s}(x,\Phi )={w}^{0}+\sum_{m=2}^{M}{w}_{m}^{i}(x)\cosm\Phi +\sum_{m=2}^{M}{w}_{m}^{0}(x)\sinm\Phi`


.. csv-table::

    "Où", ":math:`{u}^{s}` : représente le déplacement axial de la surface moyenne dans le repère local :math:`x\Phi \zeta`"
    "", ":math:`{v}^{s}` : représente le déplacement ortho-radial de la surface moyenne dans le repère local :math:`x\Phi \zeta`"
    "", ":math:`{w}^{s}` : représente le déplacement radial de la surface moyenne dans le repère local :math:`x\Phi \zeta`"
    "", ":math:`{w}^{0}` : représente le gonflement"


Ces éléments font donc intervenir localement :


*   6 variables cinématiques pour la formulation poutre: les déplacements :math:`{u}^{p}` , :math:`{v}^{p}`  et :math:`{w}^{p}` suivant la fibre de référence et les rotations autour des axes locaux,


*   3 variables cinématiques pour la formulation coque : les déplacements supplémentaires :math:`{u}^{s}` , :math:`{v}^{s}` et :math:`{w}^{s}` dans le repère de la surface moyenne,


*   4 contraintes dans l’épaisseur du tuyau notées :math:`\mathrm{SIXX}` (:math:`\mathrm{sxx}` ), :math:`\mathrm{SIYY}` (:math:`\mathrm{sff}` ), :math:`\mathrm{SIXY}` (:math:`\mathrm{sxf}` ), et :math:`\mathrm{SIXZ}` (:math:`\mathrm{sxz}` ). La contrainte :math:`\mathrm{SIZZ}` (:math:`\mathrm{szz}` ) est nulle (hypothèse de contraintes planes). Les contraintes de cisaillement transverses sont nulles (hypothèse de Love Kirchoff),


*   4 déformations dans l’épaisseur du tuyau notées :math:`\mathrm{EPXX}` (:math:`\mathrm{exx}` ), :math:`\mathrm{EPYY}` (:math:`\mathrm{eff}` ), :math:`\mathrm{EPXY}` (:math:`\mathrm{exf}` ), et :math:`\mathrm{EPXZ}` (:math:`\mathrm{sxz}` ). La déformation :math:`\mathrm{EPZZ}` (:math:`\mathrm{ezz}` ) est nulle pour la partie poutre.

**Remarque importante** :

La cinématique de poutre est basée sur l’hypothèse de Timoshenko [:ref:`R3.08.03 <R3.08.03>`]. L’élément tuyau n’est pas «exact» aux nœuds pour des chargements ou torseurs concentrés aux extrémités, il faut mailler avec plusieurs éléments pour obtenir des résultats corrects.

*Suivant la fibre moyenne, ces éléments sont de type isoparamétriques. Il en résulte que les déplacements varient comme des polynômes d’ordre 2 suivant* :math:`X` *pour les éléments à 3 nœuds et d’ordre 3 pour 4 nœuds.*




Comparaison à d’autres éléments
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Les différences entre les éléments tuyaux
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Les éléments tuyaux TUYAU_3M et TUYAU_6M sont des éléments linéiques:


*   TUYAU_3M à trois ou quatre nœuds.


*   TUYAU_6M à trois nœuds.

Ces éléments se différencient uniquement au niveau de l'approximation du champ de déplacement supplémentaire COQUE, qui est faite par une décomposition en série de Fourier:


*   TUYAU_3Mjusqu'à l'ordre 3.


*   TUYAU_6Mjusqu'à l'ordre 6.

Par conséquent le nombre de degrés de liberté est différent:


*   TUYAU_3M21 par nœud (6 degrés de liberté de poutre et 15 degrés de liberté de coque)


*   TUYAU_6M39 par nœud (6 degrés de liberté de poutre et 33 degrés de liberté de coque)

Comparée à la modélisation TUYAU_3M, la modélisation TUYAU_6M permet une meilleure approximation du comportement de la section transversale dans le cas où celle-ci se déforme suivant un mode élevé, par exemple dans le cas de tubes minces où le rapport épaisseur sur rayon de la section transversale est :math:`<0.1` , et dans certains cas en plasticité. Dans les zones peu sollicitées, la modélisation TUYAU_3M est préconisée.

Eléments finis de tuyau droit ou courbe

Il apparaît une différence de comportement sur les coudes présents dans la structure entre les maillages quadratiques courbes et droits. Le nœud milieu des éléments ne se retrouve pas sur la ligne de courbure de l’élément suite, par exemple, à une opération type CREA_MAILLAGE/LINE_QUAD .

Cette différence modifie fortement les caractéristiques de raideur de l’élément et également la prise en compte des pressions internes (effet de fond); il est par suite conseillé de faire en sorte que le maillage respecte au maximum la courbure du coude.




Les différences entre les éléments tuyaux et les éléments poutres
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A l’instar des éléments finis TUYAU, les éléments finis POUTRE font également partie de la classe des éléments finis linéiques. On compare dans cette partie les formulations et les chargements applicables pour ces deux classes d’éléments.

Au niveau de la formulation:


* **Élément** **POUTRE:**

La formulation est basée sur une résolution exacte des équations du modèle continu effectué pour chaque élément du maillage. Plusieurs types d’éléments de poutre sont disponibles:


*   POU_D_E: le cisaillement transverse est négligé, ainsi que l’inertie de rotation. Cette hypothèse est vérifiée pour de forts élancements (Hypothèse d’Euler),


*   POU_D_T: le cisaillement transverse et tous les termes d’inertie sont pris en compte. Cette hypothèse est à utiliser pour des élancements faibles (Hypothèse de Timoshenko).

Ces éléments utilisent des mailles de type SEG2 avec 6 degrés de liberté par nœuds, 3 déplacements et trois rotations. La formulation de ces éléments est présentée dans le document de référence [:ref:`R3.08.01 <R3.08.01>`]. La section est constante, le seul comportement possible des sections transverses est la translation et la rotation pour l’ensemble des points de la section. La section peut-être de forme quelconque constante ou variable sur la longueur.


* **Élément** **TUYAU:**

La formulation combine à la fois une formulation poutre basée sur l’hypothèse de Timoshenko et une formulation coque basée sur l'hypothèse de Love_Kirchhoff permettant de modéliser les phénomènes de gonflement, d'ovalisation et de gauchissement. La section creuse, de forme circulaire, est constante sur toute la longueur de l'élément. L’élément n’est pas «exact» aux nœuds pour des chargements ou torseurs concentrés aux extrémités, il faut donc mailler avec plusieurs éléments pour obtenir des résultats corrects, notamment pour représenter la courbure.

Ces éléments utilisent des mailles de type SEG3 ou SEG4 avec, pour la cinématique de poutre 6 degrés de liberté par nœuds, 3 déplacements et trois rotations, et pour la cinématique de coque, 15 ou 33 degrés de liberté de type déplacement.

Au niveau des **chargements applicables** :


* **Élément** **POUTRE:**

Les chargements possibles sont les chargements d'extension, de flexion et de torsion. Le chargement de pression interne pour les sections creuses n’existe pas (la section est indéformable).


* **Élément** **TUYAU:**

L’élément TUYAU admet les chargements classiques de poutre ainsi que l’application d’une pression interne.