Un nouvel ingrédient pour l’algèbre linéaire : l’élimination des équations de Lagrange

par J. Pellet, EDF R&D / AMA

Les méthodes itératives pour la résolution des systèmes linéaires (GCPC et PETSC) sont souvent très économiques en mémoire car elles ne nécessitent pas de factoriser la matrice.

Malheureusement, la prise en compte (par dualisation) de certaines conditions aux limites cinématiques "complexes" (mot-clés LIAISON_UNIF, LIAISON_ELEM, LIAISON_MAIL, …) conduit parfois à des difficultés de convergence pour ces méthodes itératives.

Un nouveau mot clé (SOLVEUR / ELIM_LAGR=’OUI’) permet d’éliminer les équations de Lagrange associées à la dualisation de ces conditions aux limites. Après cette élimination, pour les modélisations les plus courantes, la matrice retrouve son caractère "défini positif", ce qui facilite en général la convergence des méthodes itératives.

Figure 1 : profil de la matrice dans le cas-test petsc02a avant élimination	Figure 2 : profil de la matrice dans le cas-test petsc02a après élimination (on peut constater la diminution de sa taille et des coefficients diagonaux qui sont uniquement positifs, en rouge)

On constate par exemple que les trois cas tests ssls101m, sslx100b et zzzz112c peuvent être résolus avec le solveur PETSC (et le pré-conditionnement ’LDLT_INC’) si on utilise ELIM_LAGR=’OUI’. Sans ce dernier mot clé, le solveur itératif ne converge pas.

Ce nouvel ingrédient numérique est également disponible pour les calculs modaux via la nouvelle commande ELIM_LAGR qui élimine les équations de Lagrange dans une matrice assemblée existante. Il permet en général de diminuer la norme d’erreur sur les modes propres trouvés. Il peut aussi simplifier la mise en données (moins de paramétrages pour le mot clé CALC_FREQ).

Figure 3 : profil de la matrice dans le cas-test ssls101m avant élimination	Figure 4 : profil de la matrice dans le cas-test ssls101m après élimination